TLA+ 《Specifying Systems》翻译初稿——Section 6.3 Recursion Revisited （递归回顾）

本节要点：

• TLA+中， $f[x \in S] \triangleq e$是
  (6.3) $f \triangleq \text{CHOOSE } f:f=[x\in S \mapsto e]$的缩写形式;
• TLA+允许我们写“笨定义”，例如，我们可以写
  (6.4) $circ[n\in Nat]\triangleq \text{CHOOSE }y:y\neq circ[n]$，不过在TLA+中，函数 $circ$的值不确定;
• TLA+不允许相互循环定义。不过，我们可以按TLA+允许的方式这样定义函数 $f$和 $g$: 先定义一个函数 $mr$使得 $mr[n]$是一个record，它的 $f$和 $g$域分别为 $f[n]$和 $g[n]$
  $\\mr[n \in S]\triangleq \\ \quad [f \mapsto \text{IF } \;n=0 \; \text{THEN }\; 17\; \text{ ELSE }\; mr[n-1].f*mr[n].g, \\ \quad g \mapsto \text{IF } \;n=0 \; \text{THEN }\; 42\; \text{ ELSE }\; mr[n-1].f+mr[n-1].g ]$
  之后我们可以根据 $mr$将 $f$和 $g$定义为： $f[n \in Nat] \triangleq mr[n].f \\g[n \in Nat] \triangleq mr[n].g$这个小技巧可以将任何相互循环函数定义转换为 定义一个独立的record-valued 循环定义函数，这个函数的域即为想要相互循环定义的函数。

-第5.5章有引入递归函数定义。我们现在看一下这些定义的数学含义。数学家们将阶乘函数定义如下： $fact[n]=\text{IF } n=0\text{ THEN } 1\text{ ELSE } n * fact[n-1], for \;all \;n \in Nat$上述通常被认为是唯一定义了 $Nat$域上的函数 $fact$，换句话说， $fact$是唯一满足
(6.1) $fact[n]=\text{IF } n=0\text{ THEN } 1\text{ ELSE } n * fact[n-1]$公式的值。

5.1节P47-48页引入的 $\text{CHOOSE}$ 操作符， 让我们可以用 $\text{CHOOSE } x:p$表达 “选个x满足属性p”的需求。因此我们定义 $fact$如下：
(6.2) $fact \triangleq \text{CHOOSE } fact: \\ \qquad \qquad \qquad fact=[n \in Nat \mapsto \text{IF } n=0\text{ THEN } 1\text{ ELSE } n * fact[n-1]$
(因为符号 $fact$在 $\triangleq$右侧引入之前尚未在表达式中有定义，我们只能在 $\text{CHOOSE}$表达式中将它用做绑定标识符)。TLA+的定义 $fact[n \in Nat] \triangleq \text{IF } n=0\text{ THEN } 1\text{ ELSE } n * fact[n-1]$只是(6.2)的缩写形式。再推广一下， $f[x \in S] \triangleq e$是
(6.3) $f \triangleq \text{CHOOSE } f:f=[x\in S \mapsto e]$的缩写形式。

TLA+允许我们写“笨定义”，例如，我们可以写
(6.4) $circ[n\in Nat]\triangleq \text{CHOOSE }y:y\neq circ[n]$，意思是 对任意自然数 $n$, 定义一个函数 $circ$，使得 $circ[n] \neq circ[n]$。 很显然没有这样的函数，所以 $circ$不可能定义出来。在一个递归函数定义中不是很有必要再定义一个函数。如果没有函数 $f$等于 $[x \in S \mapsto e]$， 则(6.3) 定义 $f$为一个不确定的值，这样，(6.4)也将 $circ$定义为一个未知数。

虽然TLA+允许递归函数定义具有明显的循环性，但它不允许循环定义(在循环定义中，两个或多个函数是相互定义的)。数学家们偶尔会写这样的循环定义。例如，他们会这样定义自然数域上的函数 $f$和 $g$：
$f[n]=if \;n=0 \; then\; 17\; else \; f[n-1]*g[n], \\ g[n] = if \;n=0 \; then\; 42\; else \; f[n-1]*g[n-1]$
TLA+不允许相互循环定义。不过，我们可以按TLA+允许的方式这样定义函数 $f$和 $g$:先定义一个函数 $mr$使得 $mr[n]$是一个record，它的 $f$和 $g$域分别为 $f[n]$和 $g[n]$
$\\mr[n \in S]\triangleq \\ \quad [f \mapsto \text{IF } \;n=0 \; \text{THEN }\; 17\; \text{ ELSE }\; mr[n-1].f*mr[n].g, \\ \quad g \mapsto \text{IF } \;n=0 \; \text{THEN }\; 42\; \text{ ELSE }\; mr[n-1].f+mr[n-1].g ]$
之后我们可以根据 $mr$将 $f$和 $g$定义为： $f[n \in Nat] \triangleq mr[n].f \\g[n \in Nat] \triangleq mr[n].g$
这个小技巧可以将任何相互循环函数定义转换为 定义一个独立的record-valued 循环定义函数，这个函数的域即为想要相互循环定义的函数。

如果我们想推导出由 $f[x\in S] \triangleq e$定义的函数 $f$，我们需要证明存在一个 $f$等于 $[x \in S \mapsto e]$。
如果 $f$没有出现在 $e$中， $f$的存在性是很明显的。如果它出现了，那么这就是一个递归定义，然后就需要得到证明。不过本书中我们不讨论如何证明它。直观上，你必须检查一下，就像在阶乘函数的情况下，这个定义唯一地确定了 $S$中每一个 $x$对应的 $f[x]$的值。

递归是一种常见的编程技术，因为程序必须使用少量简单基本的操作来计算数值。它在数学定义中不常用，在数学定义中我们不必担心如何计算数值，因为可以使用强大的工具如逻辑运算符和集合论来计算。例如，在5.4节中定义了操作符Head、Tail和o，但没有使用递归(尽管计算机科学家通常使用递归的方式来定义它们)。尽管如此，使用递归函数定义还是可以最好地归纳定义某些东西。