拉格朗日插值

重点

• 拉格朗日插值可以用来填充缺失的数据,数据清洗中的一步

解决问题

给定$N$个点$(x_i,y_i)$,求取函数$f(x)$, 满足$f(x_i) = y_i$. 利用这种插值方法,可以填充缺失的数据.
拉格朗日插值对上述问题的给出的解有如下形式:

$f(x) = \sum_{j=0}^{N}y_if_i(x)$,其中

$f_i(x) = \prod_{j \neq i}^N\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$

拉格朗日插值有如下性质:

• $f_i(x)$是一个$(N-1)$阶函数

• 在已知的N个点中
  $f_i(x) = 1 \ if\ x = x_i$
  $f_i(x) = 0 \ if\ x \neq x_i$

• 根据上面的结果,插值函数$f(x)$满足 $f(x_i)=y_i$ for $i \in [0,N-1]$ (这就是插值的目标)

例子

给定三个点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$, 则
$f(x) = \sum_{j=0}^{3}y_if_i(x)=y_1f_1(x)+y_2f_2(x)+y_3f_3(x)$,其中

$f_1(x) = \frac{x-x_2}{x_1-x_2} \times \frac{x-x_3}{x_1-x_3}$

$f_2(x) = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \times \frac{x-x_3}{x_2-x_3}$

$f_3(x) = \frac{x-x_1}{x_3-x_1} \times \frac{x-x_2}{x_3-x_2}$

代码

scipy.interpolate.lagrange可以完成拉格朗日插值

已知点的数目加一比目标函数的阶数小

from scipy.interpolate import lagrange
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
x = np.array([0, 1, 2])
y = x**3
poly = lagrange(x, y)


x = np.arange(-5,5)
y = x ** 3
predy = poly(x)

plt.plot(x,y,label='groundtruth',color='r')
plt.plot(x,predy,label='predicted',color='y')
plt.legend()
plt.show()

结果图

可以看出拟合效果很差,因为目标函数$y=x^3$是三阶曲线,但只给出3个点,拉格朗日插值只能生成一个二阶曲线,必然无法拟合

已知点的数目加一等于目标函数的阶数

from scipy.interpolate import lagrange
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
x = np.array([0, 1, 2,3])
y = x**3
poly = lagrange(x, y)


x = np.arange(-5,5)
y = x ** 3
predy = poly(x)

plt.plot(x,y,label='groundtruth',color='r')
plt.plot(x,predy,label='predicted',color='y')
plt.legend()
plt.show()

给定四个点就可以完美拟合三阶曲线

已知点的数目加一大于目标函数的阶数

from scipy.interpolate import lagrange
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
x = np.array([0, 1, 2,3,4])
y = x**3
poly = lagrange(x, y)


x = np.arange(-5,5)
y = x ** 3
predy = poly(x)

plt.plot(x,y,label='groundtruth',color='r')
plt.plot(x,predy,label='predicted',color='y')
plt.legend()
plt.show()

给定五个点也可以完美拟合三阶曲线

已知点的数目加一大于目标函数的阶数,但存在噪声

from scipy.interpolate import lagrange
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
x = np.array([0, 1, 2,3,4])
y = x**3
y[-1] -= 5 #噪声
poly = lagrange(x, y)


x = np.arange(-5,5)
y = x ** 3
predy = poly(x)

plt.plot(x,y,label='groundtruth',color='r')
plt.plot(x,predy,label='predicted',color='y')
plt.legend()
plt.show()

噪声导致拟合误差增大,也是合理的结果