拉格朗日力学

我们从一个原理出发， $\delta S=0$ ,表示的是在给定的时间点之间，不改变时间的取向，仅改变系统的位形，即选择出众多运动形态中的最“平稳”的一条，S就是哈密顿作用量 $S={\int }_{t_i}^{t_2}L\text{d}t$

其中的L就是拉格朗日量。

代入方程，即可得到 KaTeX parse error: Invalid delimiter type 'ordgroup' at position 271: …}\delta q_i\big{̲l̲}̲^{t_2}_{t_1}+\i…

由于各个自由度之间互相独立，且各个q的变化任意

得到拉格朗日方程 $\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}})=0$

对于一个封闭的质点系统， $L=T-U$

T是质点的动能，对于一般的系统 $L=T(q,\dot{q})-U(q)$

而T是坐标变化量的二次函数，由齐次函数的欧拉定理 $\sum \frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i}=2T$

对于这个一般系统 $\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i}=\sum \frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i}=2T$

所以我们定义的能量 $E=\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i}-L$ 。

同时我们发现，对于一个系统，L与r无关，动量守恒。与角度无关，角动量守恒。

这就显示了动量是位置的动量，角动量是角度的动量。

于是我们定义动量 $p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}$

这个系统就是这样建立的。