排列组合、积事件概率、条件概率、贝叶斯公式、独立事件

排列组合公式

$A_n^m=n(n-1)⋅⋅⋅(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$

$C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=C_n^{n-m}$

参考视频 《古典概型（排列组合）理论【板书】》

积事件概率与条件概率

举个例子，袋里有两个白球，一个黑球，不放回摸两次，问:

1. 两次都摸到白球的概率
2. 已知第一次摸到了白球，第二次也摸到白球的概率

解：设 $A$ = 第一次摸到白球， $B$ = 第二次摸到白球

（1）就是求事件 $AB$的概率，它等价于，同时摸两个球，摸到的都是白球，所以概率
$P(AB)=\cfrac{C_2^2}{C_3^2}=\cfrac{1}{3}$
或者说，第一次摸到白球的概率是 $\frac2 3$，第二次摸到白球的概率是 $\frac1 2$，相乘得到 $\frac1 3$，
$P(AB)=P(A)∗P(B|A)=\frac2 3 * \frac1 2= \frac{1}{3}$

（2）是求在 $A$已经发生的条件下， $B$发送的概率，即 $P(B|A)$, 也就是说第一次已经摸掉了一个白球，那么在第二次摸的时候，只有一个黑球，一个白球，于是
$P(B|A)=\cfrac{1}{2}$

条件概率与贝叶斯公式

$P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{\cfrac{1}{3}}{\cfrac{2}{3}}=\cfrac{1}{2}$

公式变形

$P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}$

$P(AB)=P(A)∗P(B|A)$

$P(A|B)=\cfrac{P(AB)}{P(B)}$

$P(AB)=P(B)∗P(A|B)$

假设样本总空间是 $Ω_{AB}$，事件A已经发生时，样本空间不再是 $Ω_{AB}$，而是 $Ω_A$。
由于A、B不是独立事件， $P(AB)=P(A)∗P(B|A)=P(B)∗P(A|B) \not =P(A)*P(B)$

条件概率 https://www.bilibili.com/video/av36206436?p=11
乘法公式 https://www.bilibili.com/video/av36206436?p=12
全概率公式 https://www.bilibili.com/video/av36206436?p=13
贝叶斯公式 https://www.bilibili.com/video/av36206436?p=14

独立事件

事件 $A$发生的概率不受事件 $B$发生的影响
$即，P(A|B)=P(A)，那么P(AB)=P(B)∗P(A|B)=P(B)∗P(A)$