一.基本概念
1.条件概率
条件概率是指事件A在事件B发生的条件下发生的概率。条件概率表示为:P(A|B),读作“A在B发生的条件下发生的概率”。若只有两个事件A,B,那么,
引申公式:
2.概率测度
如果事件 B 的概率 P(B) > 0,那么 Q(A) = P(A | B) 在所有事件 A 上所定义的函数 Q 就是概率测度。 如果 P(B) = 0,P(A | B) 没有定义。 条件概率可以用决策树进行计算
3.联合概率
表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为 P(AB) 或者P(A,B),或者P(A∩B)。 [2]
4.边缘概率
是某个事件发生的概率,而与其它事件无关。边缘概率是这样得到的:在联合概率中,把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失(对离散随机变量用求和得全概率,对连续随机变量用积分得全概率)。这称为边缘化(marginalization)。A的边缘概率表示为P(A),B的边缘概率表示为P(B)。
二、基本定理
1.定理1
设A,B 是两个事件,且A不是不可能事件,则称为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。一般地,
,且它满足以下三条件:
(1)非负性;(2)规范性;(3)可列可加性。
2.定理2
设E 为随机试验,Ω 为样本空间,A,B 为任意两个事件,设P(A)>0,称为在“事件A 发生”的条件下事件B 的条件概率。
上述乘法公式可推广到任意有穷多个事件时的情况。
设为任意n个事件(n>=2)且,则
3.定理3(全概率公式)
定义:(完备事件组/样本空间的划分)
设B1,B2,…Bn是一组事件,若
(1)
(2)
则称B1,B2,…Bn样本空间Ω的一个划分,或称为样本空间Ω 的一个完备事件组。
全概率公式:
设事件组是样本空间Ω 的一个划分,且P(Bi)>0(i=1,2,…n)
则对任一事件B,有
4.定理4(贝叶斯公式)
设B1,B2,…Bn…是一完备事件组,则对任一事件A,P(A)>0,有