HMM：隐马尔科夫模型 - 预测和解码

http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/78397567

CRF的学习

即CRF的参数估计问题。条件随机场模型实际上是定义在时序数据上的对数线性模型（LR模型同样是），其学习方法包括极大似然估计和正则化的极大似然估计。具体的优化实现算法有改进的迭代尺度法IIS、梯度下降法以及拟牛顿法。

改进的迭代尺度法(IIS)

         已知训练数据集，由此可知经验概率分布  ，可以通过极大化训练数据的对数似然函数来求模型参数。

         训练数据的对数似然函数为（lz条件熵）

                  

         当Pw是条件随机场模型时

                  

                  

         IIS通过迭代的方法不断优化对数似然函数改变量的下界，达到极大化对数似然函数的目的。

         假设模型的当前参数向量为w=(w₁,w₂, ..., w_K)^T，向量的增量为δ=(δ1,δ2, ..., δK)^T，更新参数向量为w +δ=(w₁+δ1, w₂ +δ2, ..., w_k +δk)^T。在每步迭代过程中，IIS通过一次求解下面的11.36和11.37，得到δ=(δ1,δ2, ..., δK)^T。

         关于转移特征t_k的更新方程为：

                  

         关于状态特征s_l的更新方程为：

                  

         这里T(x, y)是在数据(x, y)中出现所有特征数的综合：

                  

         于是算法整理如下。

 算法：条件随机场模型学习的改进的迭代尺度法

         输入：特征函数t₁,t₂, ..., t_K1，s1, s2, ..., s_K2；经验分布

         输出：参数估计值 ；模型。

         过程：

                  

拟牛顿法

         对于条件随机场模型

                  

         学习的优化目标函数是

                  

         其梯度函数是

                  

 算法：条件随机场模型学习的BFGS算法(拟牛顿法)

        

前向后向算法

像隐马尔可夫模型那样，引进前向-后向向量，递归的计算以上概率及期望值。这样的算法称为前向-后向算法。

前向-后向算法

         对每个指标i =0,1,...,n+1，定义前向向量a_i(x)：

                  

         递推公式为

                  

         又可表示为

                  

         a_i(y_i|x)表示在位置i的标记是y_i并且到位置i的前部分标记序列的非规范化概率，若y_i可取的值有m个，那a_i(x)就是m维的列向量。

         同样，对每个指标i =0,1,...,n+1，定义后向向量β_i(x)：

                  

         又可表示为

                  

         β_i(y_i|x)表示在位置i的标记为y_i并且从i+1到n的后部分标记序列的非规范化的概率。

         由前向-后向定义不难得到：

                  

         这里，若a_i(x)是m维的列向量，那1就是元素均为1的m维列向量。

概率计算

         按照前向-后向向量的定义，很容易计算标记序列在位置i是标记yi的条件概率和在位置i-1与i是标记y_i-1和y_i的条件概率：

                  

         其中，

                   Z(x)= a_n^T(x)·1

期望值计算

         利用前向-后向向量，可以计算特征函数关于联合分布P(X, Y)和条件分布P(Y | X)的数学期望。

         特征函数f_k关于条件分布P(Y |X)的数学期望是

                  

         其中，

                   Z(x)= a_n^T(x)·1

 

         假设经验分布为

                  

         则特征函数f_k关于联合分布P(X, Y)的数学期望是

                  

         其中，

                   Z(x)= a_n^T(x)·1

 

         式11.23和式11.35是特征函数数学期望的一般计算公式。对于转移贴纸t_k(y_i-1, y_i, x, i)，k=1,2,...,K₁，可以将式中的f_k换成t_k；对于状态特征，可以将式中的f_k换成s_i，表示s_l(y_i, x, i)，k = K₁ +1，l = 1,2,...,K₂。

         有了式11.32 ~11.35，对于给定的观测序列x和标记序列y，可以通过一次前向扫描计算a_i及Z(x)，通过一次后向扫描计算βi，从而计算所有的概率和特征的期望。

某小皮

CRF的预测算法

条件随机场的预测问题是给定义条件随机场P(Y|X)和输入序列(观测序列)x，求条件概率最大的输出序列(标记序列)y*，即对观测序列进行标注。条件随机场的预测算法是著名的维特比算法。

由

                  

         可得：

                  

         于是，条件随机场的预测问题成为求非规范化概率最大的最优路径问题。

算法：条件随机场预测的维特比算法

        

维特比算法建议看看HMM中的算法示例[HMM：隐马尔科夫模型 - 预测和解码 ]，根据非规范化条件概率计算示例1

这样CRF中的维特比算法就是一样的了。

from: http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/78397567

ref: [统计学习方法]