因为计划先看的凸优化,但是发现其中很多符号不认识(不同的机构使用的不一定一样)。过两天才看到这个线性代数综述,我觉得应该是我的顺序搞反了,所以,将这一篇的日期顺序排的靠前点。其实我更推荐看原文章或翻译:中文翻译,不过这里我会把公式都打出来,主要是联系一下Latax。
(未完待填坑)
1、基本概念和符号
方程组:
4x1−5x2=−13
−2x1+3x2=9
可以写成线性代数的形式:
Ax=b 其中:
A=[4−1−53],
b=[−139]
1.1、基本符号
采用以下符号:
·
A∈Rm×n ,表示一个m行n列的矩阵,并且矩阵A中的所有元素都是实数。
·
x∈Rn ,表示一个含有n个元素的向量,通常,我们把n维向量看成是一个n行1列矩阵,即列向量。如果我们想表示一个行向量(1行n列矩阵),我们通常写作
xT,即x的转置。
· 向量的第i个元素写作
xi:
x=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤
·采用
aij(orAij,Ai,j,etc)表示A的
i行
j列元素
A=⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎤
·采用
aj(orA:,j)表示A的
j列元素
A=⎣⎡∣a1∣∣a2∣⋯∣an∣⎦⎤
·采用
aiT(orAi,:)表示A的
i行元素
A=⎣⎢⎢⎢⎡———a1Ta2T⋮amT———⎦⎥⎥⎥⎤
2、矩阵乘法
百度百科-矩阵乘法
矩阵
A∈Rm×n和
B∈Rn×P的乘积:
C=AB∈Rm×p
其元素为
Cij=k=1∑nAikBkj
2.1、向量乘积
内积:
x,y∈Rn,的点积/内积为
xTy,是一个实数
xTy∈R=[x1x2⋯xn]⎣⎢⎢⎢⎡y1y2⋮yn⎦⎥⎥⎥⎤=i=1∑nxiyi
内积是矩阵乘法的特例,通常
xTy=yTx
外积:
x∈Rm,y∈Rn,
xyT∈Rm×n为向量的外积
xyT∈Rm×n=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤[y1y2⋯yn]=⎣⎢⎢⎢⎡x1y1x2y1⋮xmy1x1y2x2y2⋮xmy2⋯⋯⋱⋯x1ynx2yn⋮xmyn⎦⎥⎥⎥⎤
外积写法的例子,
1∈Rn是元素都为1的n维向量,
A∈Rm×n是m行n列矩阵,每一列都是
x∈Rm,A可以简洁的写作
A=⎣⎡∣x∣∣x∣⋯∣x∣⎦⎤=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xmx1x2⋮xm⋯⋯⋱⋯x1x2⋮xm⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡x1x1⋮x1⎦⎥⎥⎥⎤[y1y2⋯yn]=x1T
2.2、矩阵-向量乘法
右乘列向量的写法:
矩阵
A∈Rm×n与向量
x∈Rn的乘积为向量
y=Ax∈Rm
行的形式:
来写
A,Ax,
yi=aiTx:
y=Ax=⎣⎢⎢⎢⎡———a1Ta2T⋮amT———⎦⎥⎥⎥⎤x=⎣⎢⎢⎢⎡———a1Txa2Tx⋮amTx———⎦⎥⎥⎥⎤
列的形式:
来写
A,Ax:
y=Ax=⎣⎡∣a1∣∣a2∣⋯∣an∣⎦⎤⎣⎢⎢⎢⎡x1x1⋮x1⎦⎥⎥⎥⎤=[a1]x1+[a2]x2+⋯+[an]xn
左乘行向量的写法:
A∈Rm×n,
x∈Rm,
y∈Rn,则
yT=xTA
行的形式:
yT=xTA=xT⎣⎡∣a1∣∣a2∣⋯∣an∣⎦⎤=[xTa1xTa2⋯xTan]
列的形式:
yT=xTA=[x1x2⋯xn]⎣⎢⎢⎢⎡———a1Ta2T⋮amT———⎦⎥⎥⎥⎤
=x1[—a1T—]+x2[—a2T—]+⋯+xn[—anT—]
2.3、矩阵乘法
基于以上的知识,矩阵乘法
C=AB有4种表示方式
A的行,B的列: 最常用的方式
C=AB=⎣⎢⎢⎢⎡———a1Ta2T⋮amT———⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎡∣b1∣∣b2∣⋯∣ap∣⎦⎤=⎣⎢⎢⎢⎡a1Tb1a1Tb1⋮a1Tb1a1Tb1a1Tb1⋮a1Tb1⋯⋯⋱⋯a1Tb1a1Tb1⋮a1Tb1⎦⎥⎥⎥⎤
A的列,B的行:
C=AB=⎣⎡∣a1∣∣a2∣⋯∣ap∣⎦⎤⎣⎢⎢⎢⎡———b1Tb2T⋮bnT———⎦⎥⎥⎥⎤=i=1∑naibiT
或者,可以看作是一系列的向量-矩阵乘积:
B以列向量表示:
Ci=Abi
C=AB=A⎣⎡∣b1∣∣b2∣⋯∣bp∣⎦⎤=⎣⎡∣Ab1∣∣Ab2∣⋯∣Abp∣⎦⎤
A以行向量表示:
CiT=aiTB
C=AB=⎣⎢⎢⎢⎡———b1Tb2T⋮bnT———⎦⎥⎥⎥⎤B=⎣⎢⎢⎢⎡———a1TBa2TB⋮amTB———⎦⎥⎥⎥⎤
矩阵乘法的性质: (前面线性代数的本质更加形象)
·结合律
(AB)C=A(BC)
·分配率
A(B+C)=AB+AC
·没有交换律!!
3、运算和性质
3.1、单位矩阵与对角矩阵
单位矩阵
只有对角线位置是1,其余都是0的矩阵
Iij={10i=ji=j (不等于号打出来有问题)
AI=A=IA
对角矩阵
只有对角不为零
Dij={di0i=ji=j
3.2、转置
行列反转,
A∈Rm×n转置为
AT∈Rn×m
其元素为
(AT)ij=Aji
性质:
(AT)T=A,
(AB)T=BTAT ,
(A+B)T=AT+BT
3.3、对称矩阵
A∈Rn×n,如果
A=AT,那就是对称的,如果
A=(−AT)那就是反对称的
任何矩阵A,
A+AT是对称的,
A−AT是反对称的,因此
A=21(A+AT)+21(A−AT)
通常将大小为n的对称矩阵几何表示为
Sn,因此
A∈Sn表示A是
n×n对称矩阵
3.4、迹
方阵
A∈Rn的迹,记做
tr(A),可以省略括号
trA,是矩阵的对角线元素之和:
trA=i=1∑nAii
性质如下:
A∈Rn×n,
trA=trAT
A,B∈Rn×n,
tr(A+B)=trA+trB
A∈Rn×n,t∈R,
tr(tA)=ttrA
A,B,C都是方阵,
trAB=trBA,
trABC=trBCA=trCBA,方阵更多类推
3.5、范数
中间部分内容较多,后面再补上,
3.11、二次型和半正定矩阵
参见二次型的几何意义-知乎