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多项式 ADT

目录

一、概述

一元多项式，我们一般用系数表示法来表示，如下图：
可以看到，多项式里最重要的是两个要素：指数(Exponent)与其对应的系数(Coefficient)。对于多项式比较重要的处理是：多项式加法和乘法。

多项式这类数据我们通常有以下两种实现方式。

二、采用单结构（系数数组 + 最高指数）

1、表示多项式的结构

最容易想到的当然是，直接用一个数组来储存对应项的系数。假设我们储存的多项式最高指数不超过MAX_NUM（常量），那么我们可以将每个项的指数与数组的下标对应，数组内对应存入该项的系数 。

1）结构的代码实现：

typedef struct node {
    int CoffArray[MAX_NUM + 1];  //系数数组
    int HighestExponent;  //最高指数
} * Polynomial, node;

2）产生一个初始化多项式：

很重要，将系数和最高指数置零。

Polynomial CreatPolynomial() {
    Polynomial temp = (Polynomial)malloc(sizeof(node));
    
    temp->HighestExponent = 0;
    memset(temp->CoffArray, 0, (MAX_NUM + 1) * sizeof(int));

    return temp;
}

2、多项式的加法

这种表示方法下做加法很简单，两个多项式的相加的结果：其 最高指数为两多项式最高指数中更大的那个，由于数组下标对应指数，那么 系数数组直接对应下标相加即可。

Polynomial AddPolynomial (Polynomial p1, Polynomial p2) {
    Polynomial ans = CreatPolynomial();
    
    //相加后的最高指数
    ans->HighestExponent =  
            p1->HighestExponent > p2->HighestExponent ? p1->HighestExponent : p2->HighestExponent;
    //对应系数相加
    for(int i = 0; i < ans->HighestExponent; i++) {
        ans->CoffArray[i] = p1->CoffArray[i] + p2->CoffArray[i];
    }

    return ans;
}

3、多项式的乘法

多项式乘法的实现也不复杂，模拟我们计算的条理即可。两个多项式的相乘的结果：其 最高指数为两多项式最高指数相加 ，依次相乘每一项，系数相乘，指数相加。即 将系数相乘的结果累加到系数数组的对应下标（指数相加结果）。

Polynomial MultPolynomial (Polynomial p1, Polynomial p2) {
    Polynomial ans = CreatPolynomial();

    //相乘后的最高指数
    ans->HighestExponent = p1->HighestExponent + p2->HighestExponent;
    //将p2与p1每一项依次相乘
    for(int i = 0; i < p1->HighestExponent; i++) {
        for (int j = 0; j < p2->HighestExponent; j++) {
            ans->CoffArray[i + j] += p1->CoffArray[i] * p2->CoffArray[j];
        }
    }

    return ans;
}

以上这种实现方式很简单，也很直接。但是有个缺陷，若项数并不多且指数分隔很大，那么系数数组将会有很多为0的，浪费空间。并且在进行相加相乘操作时，我们需要依次遍历系数数组的每一位，但是有很多为0（不存在该指数对应的项），此时未免有点浪费时间。所以我们更多地采用下面这种方法实现多项式。

三、采用链表结构（系数 + 指数）

1、表示多项式的结构

与上面那种方法不同，我们采用更加灵活的链表来表示。链表的每一个节点为多项式中的一项（单项式），其中包含指数域、系数域、指针域。

1）此结构的代码实现:

typedef struct node {
    int Coefficient;  //系数
    int Exponent;  //指数
    struct node * next;
} * NODE, node;

2）产生一个初始化单项式：

很重要，将系数和最高指数置零

NODE CreatNode(int coef, int exp) {
    NODE temp = (NODE)malloc(sizeof(node));

    temp->Coefficient = coef;
    temp->Exponent = exp;
    temp->next = NULL;

    return temp;
}

3）创建一个多项式，即返回一个头节点：

NODE CreatPolynomial() {
    NODE head = CreatNode(0, -1);
    return head;
}

4）向多项式中插入项

多项式创建好后，需要对内插入所有单项式，插入函数如下：
为了之后方便运算，注意链表中节点顺序按照指数升序排列。
head为多项式的头节点，temp为已经生成的待插入节点。

注意：
1、插入若能和已有项结合，如结果为零的项要删除。
2、插入函数可以简化后面的代码，不要觉得没必要，我修改了多次，这个版本最简单的。

void insertNode(NODE head, NODE temp) {
    NODE p = head;
    //找到插入的位置：p之后
    while (p->next && p->next->Exponent < temp->Exponent)
        p = p->next;
    //合并相同指数的项
    if(p->next->Exponent == temp->Exponent) {
        p->next->Coefficient + temp->Coefficient;
        //出现相加后系数为零
        if(!p->next->Coefficient) {
            p->next = p->next->next;  //删除
        }
        return;
    }
    //插入
    temp->next = p->next;
    p->next = temp;
}

2、多项式的加法

由于我们多项式的链表节点已经升序表示，那么我们可以对两个多项式的项依次匹配相加：同时从头遍历两个多项式p1、p2，将p2加到p1上：在p1找p2对应项（指数相同的项），若能找到就把该p2项加到对应p1项上；否则就把该p2项插入p1的合适位置（不影响p1指数升序）。
注意要删除结果为零的项。

NODE AddPolynomial(NODE head1, NODE head2) {

    NODE p1 = head1;
    NODE p2 = head2->next;

    while (p2) {
        while(p1->next && p1->next->Exponent < p2->Exponent) {
            p1 = p1->next;
        }

        //第一个多项式已经遍历完
        if(!p1->next)
            p1->next = p2;  //把剩余未加部分全部插入末尾

        //找到相同项，相加
        if(p1->next->Exponent == p2->Exponent) {
            p1->next->Coefficient += p2->Coefficient;
            //出现结果系数为零，删除
            if(!p1->next->Coefficient) {
                p1->next = p1->next->next;
            }
        }
        else {
            //没有相同项，插入
            NODE temp = CreatNode(p2->Coefficient, p2->Exponent);
            temp->next = p1->next;
            p1->next = temp;
        }

        p2 = p2->next;
    }

    return head1;
}

3、多项式的乘法

下面是经过几次修改最简单的版本。
还是从我们简单的计算逻辑出发，将 p2中每一项分别与p1相乘，每次相乘生成的结果项插入到答案多项式中（所以说上面的插入函数很重要），最终返回答案多项式。

NODE MutiPolynomial(NODE head1, NODE head2) {
    NODE p1 = head1->next;
    NODE p2 = head2->next;
    NODE ans = CreatPolynomial();
    
    while(p1) {
        while (p2) {
            //两项相乘
            int coef = p1->Coefficient * p2->Coefficient;  //系数相乘
            int exp = p1->Exponent + p2->Exponent; //指数相加
            NODE temp = CreatNode(coef, exp);  //两项相乘后的项
            insertNode(ans, temp);  //将结果项插入结果多项式中
            p2 = p2->next;
        }
        p1 = p1->next;
    }
    return ans;
}

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end

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