二分查找 / 二分答案入门指导

为了最大化时间和效率（偷懒 ）， $nuoyanli$不打算给新生上课讲二分，而是选择以 $pdf$的形式给出。
对于新生来说二分这个词语肯定比较陌生（少部分做过郑轻的题的人应该看到过这个词），下面我将整个 $pdf$分成两部分给大家入门指导。

这里先提一下复杂度：

在竞赛中，一般计算机一秒能运行 $5*10^8$次汁算，如果题目給出的时间限制为 $1s$,那么你选择的算法执行的汁算次数最多应该在 $10^8$量级オ有可能解决这个题目。
一般
$Θ(n)$的算法能解决的数据范围在 $n \leq 10^8$。
$Θ(n *\log_2n)$的算法能解决的数据范围在 $n \leq 10^6$。
$Θ(n*\sqrt n)$ 的算法能解决的数据范围在 $n < 10^5。$
$Θ(n^2)$的算法能解决的数据范围在 $n<5000$。
$Θ(n^3)$的算法能解决的数据范围在 $n <300$。
$Θ(2^n)$的算法能解决的数据范围在 $n < 25$。
$Θ(n!)$的算法能解决的数据范围在 $n < 11$。

以上范围仅供参考，实际中还要考虑每种算法的常数。

二分的原理:

二分二分，顾名思义，就是将查找的区间分成两半，找中间的部分，然后判断查找左半边还是右半边。
很显然，二分有一个非常重要的条件：查找元素必须有序
不然就难以判断它到底往左找还是往右找
同时，要注意二分查找和二分答案在原理上相同，但二分查找用于查找元素，而二分答案更像是枚举算法的优化，在做题时不要弄混。

那么，二分到底优秀在哪呢？

二分查找

上面介绍到，评价一个算法，我们可以从时间复杂度和空间复杂度来判断：

二分查找的空间复杂度： $Θ(n)$，和一般算法相同
二分查找的时间复杂度： $Θ(\log_22n)$，从这里就可以看出二分查找优秀了很多。

比如我们有105个元素，一般的方法在最坏情况下应查找105次，如果是二分的话，只需要 $\log_2210=7$次即可。

以在一个升序数组中查找一个数为例:

它每次考察数组当前部分的中间元素，如果中间元素刚好是要找的，就结束搜索过程；
如果中间元素小于所查找的值，那么左侧的只会更小，不会有所查找的元素，只需要到右侧去找就好了；
如果中间元素大于所查找的值，同理，右侧的只会更大而不会有所查找的元素，所以只需要到左侧去找。
在二分搜索过程中，每次都把查询的区间减半，因此对于一个长度为 $n$的 $arr$数组查找等于 $key$的数，至多会进行 $\log_22n$ 次查找。

第一步:排序（使得数组具有单调性）

做二分查找题，在题目没有明确表示的情况下，我们得先进行预处理
即给数组排序

sort(arr+1,arr+n+1);

第二步：确定边界

开始二分查找前我们要确定查找的边界，即这个数可能在第几到第几的范围内出现。
很显然，这题我们并不能直接圈定一个范围，那么我们就无脑直接将范围设成整个数组
我们以 $l$表示左边界 $r$表示右边界

l=1,r=n;

显然，左右边界在查找过程中会发生改变，所以接下来有一个问题，见下文。
预处理结束边界也确定了，我们就可以开始查找了。

第三步：开始查找

我们之前提到了，分左右之后找中间的部分，也就是最中间的那个。
查找肯定不能一次就结束啊，所以我们要用循环。
设置变量 $mid$为当前查找的位置。
一般用 $while$循环:

l=1,r=n;
while(l<=r) {
    mid=l+r >> 1;
}

这里的 $>> 1$代表二进制右移一位，即 $/2^1$，占用时间较少。
注：位运算的优先级低于加减乘除模(所以我没有用括号 ）
接下来我们要进一步判断是向左找还是向右找。
设置 $bool$类型的变量 $flag$代表有没有找到，初始为 $false$。

if(a[mid]==key) {//找到了就弹出循环
    flag=true;
    break;
}
if(arr[mid]>key) {
	r=mid-1;
}
else {
	l=mid+1;
}

很好理解吧， 当前元素比查找元素大则我们在查找元素的右边，反之亦然。
那么有新生会注意到，为什么 $l$和 $r$ 要 $+1，-1$呢？
假定此时 $l=2$， $r=3$，得 $mid=2$ ，如果此时不是查找元素的话，那么如果当前元素比查找元素小，那么我们调整 $l$ 的值。
如果不 $+1$的话会发生什么呢？ $l$ 再次被赋值为 $2$，则进入无限循环，所以我们需要 $+1$， $-1$来改变我们要查找的值的可能存在的区间。
则核心代码如下：

sort(arr+1,arr+n+1);
bool flag=false;
int l=1,r=n;
while(l<=r) {
	int mid=l+r >> 1;
	if(arr[mid]==key) {
		flag=true;
		break;
	}
	if(arr[mid]>key) {
		r=mid-1;
	} else l=mid+1;
}

接下来我们举个栗子。
假定 $arr$数组为:( $1$为起点

1 2 4 5 7 8 9 11

我们来找 $4$这个元素
程序开始：
$l=1 , r=8 , mid=4 , arr[mid]>4 , r=mid-1=3$
$l=1 , r=3 , mid=2 , arr[mid]<4 , l=mid+1=3$
$l=3 , r=3 , mid=3 , arr[mid]=4 , 二分查找成功，退出循环$
程序结束。
真的很短很快有木有？！
那么二分查找可以应用在哪里呢？
以后会用到 （ $LIS$ 及 $LCS$的 $Θ(nlogn)$版就可以用到二分查找。）
接下来就是更喜闻乐见丧心病狂的二分答案

二分答案:优雅的暴力，将枚举复杂度降低

例题：Merry Christmas(本来想在这次新生赛出的，但是怕被打 )
題目链接:https://nuoyanli.com/problem/1916
二分答案入门题。
看到这道题，大多数人的想法应该是暴力枚举切段长度吧。
别说我特意试了一发暴力：（自己造的数据，自己卡自己 ）

参考 代码：

#include<cstdio>
#define max(a,b) a>b?a:b
const int N = 2e5+5;
#define ll long long
ll n,k,a[N],sum=0,t;
int main() {
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		scanf("%lld",&a[i]);
		sum+=a[i];
	}
	t=sum/k;
	ll count;
	for(ll i=t; i>0; i--) {
		count=0;
		for(ll j=1; j<=n; j++) {
			count+=a[j]/i;
			if(count>=k) {
				printf("%lld\n",i);
				return 0;
			}
		}
	}
	printf("0\n");
	return 0;
}

你可以转头一看，数据范围——

暴力，不存在的！
于是我们便要用到在答案可能在的范围中二分查找我们的答案了。
对这道题来说，答案的范围就是从1到 最长的原木长度。
于是，我们设 $l=1 , r=maxn$
好了，范围解决了，接下来又面临一个问题了，怎样判断答案可不可行呢？
没办法了，只能暴力了。
每根原木扫一遍，算出能切多少根，再加起来和 $k$比较一下即可
判断的问题解决了，怎么判断下一步搜索的范围呢？
很显然，如果切得太少，那么长度太长， $r=mid-1$
如果切得太多，虽然达到了要求，此时我们可以记录答案，但长度可能太短，可能有更优解，那么 $l=mid+1$

二分详细代码如下：

#include<cstdio>
#define max(a,b) a>b?a:b
const int N = 2e5+5;
int n,k,a[N],l=1,r=0;
bool check(int x) {
	int ans=0;//设置初值
	for(int i=1; i<=n; ++i)ans+=a[i]/x;//计算能切多少
	return ans>=k;//如果切够了返回true,不够返回false
}
void solve() {
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1; i<=n; ++i)scanf("%d",&a[i]),r=max(a[i],r);
	while(l<=r) {
		int mid=l+r>>1;
		if(check(mid))l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	printf("%d\n",r);
}
int main() {
	solve();
	return 0;
}

写的有点多，希望对大家有所帮助，有问题的欢迎24小时问我。（ $/[斜眼笑]$）