BSGS
我们要求
中x的值,其中p为质数,或者a和p互质。
x可以写成:
,其中k为常数。
那么
那么我们可以预处理每一个j的
,存进set或者map里,然后枚举i,看看map里存不存在
。当
的时候复杂度最优。
当p和a不互质的时候,可以先把他们的gcd除干净(两边同时除gcd(a,p)之后可能gcd(a,p/d)!=0)
二次剩余
我们要求
中x的值,其中
且a!=0,p为质数,p=2我们不讨论,0我们直接出解嘛。
如果a存在解,那么我们把a叫做模p意义下的二次剩余,否则为二次非剩余。
先来研究一些性质。
定理1:对于一个p,有(p-1)/2个二次剩余。
证明:
,那么
,
显然不能是p的倍数,那么x1+x2=p,这样,我们发现每个x的平方会和另一个x的平方同余,而且他们的和为p,由于只有p-1个x,那么
的值就只有(p-1)/2个。
定理2:若
,那么x不存在,若=1,那么x必定存在且有两个,记为x1,x2,其中x1+x2=p。
证明:若=-1,那么由原方程可以推出
,又有费马小定理
,矛盾,所以x不存在。后者就是定理一的内容。
定义一个数的勒让德符号
他的取值有三个,1,-1,0,1代表a是p下的二次剩余,-1代表不是,0仅当a%p=0。那么易得
。
好了,现在我们来求x:
如果a不是二次剩余,返回无解。
如果是,那么有一个可行的做法如下:
首先找到一个c,使得
的勒让德符号为-1,也即无法开根。
定义同余复数域,一个复数
,其中
,乘法等运算和通常意义上的复数一样。
有一个很强的结论:
很简单粗暴,可以证明右边做完幂运算之后虚部为0。
我们来感受一下他
当j=1..p-1的时候,组合数里都有一个p,所以
做完了。