「学习笔记」二次剩余 - 二次剩余 - 学习笔记

下文只在模质数意义下讨论。
即给定 $n>0,p,p$是质数，求所有 $x\in[0,p),x^2=n\pmod p$。
若存在解则 $n$称为 $p$的二次剩余。
首先将 $p=2$的特殊情况判掉。下文 $p$是奇质数。
首先显然模奇质数 $p$意义下会有恰好 $\frac{p-1}2$个二次剩余。
首先如何判定，有一个定理：
$(-1)^{[n不是p的二次剩余]}=n^{\frac{p-1}2}\pmod p$
并且若有解 $x$，则仅有 $x$和 $p-x$这两组解。这个定理易证，略去证明。
（上述两个定理都可以通过百度“二次剩余”搜到证明（应该能））

那么考虑一个算法：在 $[1,p)$随机一个整数 $t$，使得： $t^2-n$不是关于 $p$的二次剩余。由于有恰好一半不是，因此随机两步就会随机出一组。那么令 $w=\sqrt{t^2-n}$（这里可能不存在在模 $p$意义下后半部分的平方根，这里只是定义一个有 $w^2=t^2-n\pmod p$性质的 $w$）。
可以显然证明： $w^P=-w$。
那么考虑令 $x=(t+w)^{\frac{p+1}2}$
$x^2=(t+w)^{p+1}\\=(t+w)(t+w)^p\\=(t+w)\sum_{i=0}^p\binom pit^iw^{p-i}\\=(t+w)(t^p+w^p)\\=(t+w)(t-w)=t^2-w^2\\=t^2-t^2+n=n$
因此 $x$就是 $x^2=n\pmod p$的一组解，其解集为 $\{x,p-x\}$
时间复杂度 $O(\lg p)$。实现的时候可以将 $(t+w)^k$视为 $v+cw$，利用 $w^2=t^2-n$即可做一次乘法。代码（应该是正确的）：

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define gc getchar()
using namespace std;typedef long long lint;
inline int inn() { int x,ch;while((ch=gc)<'0'||ch>'9');x=ch^'0';while((ch=gc)>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');return x; }
inline int fast_pow(int x,int k,int p,int ans=1) { for(;k;k>>=1,x=(lint)x*x%p) (k&1)?ans=(lint)ans*x%p:0;return ans; }
struct RAND{ unsigned int x;RAND() { x=1000000007; }
	inline int operator() (int a,int b) { return x=(x<<11)^(x>>3)^x^998244353,int(x%(b-a+1)+a); }
}rnd; struct E{ int t,c;E(int _t=0,int _c=0) { t=_t,c=_c; } };
inline E tms(const E &a,const E &b,int w2,int p) { return E(((lint)a.t*b.t+(lint)a.c*b.c%p*w2)%p,((lint)a.c*b.t+(lint)a.t*b.c)%p); }
inline int calc(E x,int w2,int k,int p) { E ans(1,0);for(;k;k>>=1,x=tms(x,x,w2,p)) if(k&1) ans=tms(ans,x,w2,p);return ans.t; }
inline int solve(int n,int p)
{
	if(fast_pow(n,(p-1)/2,p)==p-1) return -1;int t,w;
	do{
		t=rnd(1,p-1),w=((lint)t*t-n)%p;if(w<0) w+=p;
	}while(fast_pow(w,(p-1)/2,p)==1);
	return calc(E(t,1),w,(p+1)/2,p);
}
int main()
{
	for(int T=inn();T;T--)
	{
		int n=inn(),p=inn();n%=p;if(!n) { printf("0\n");continue; }
		if(p==2) { printf("1\n");continue; }int ans1=solve(n,p),ans2=p-ans1;
		if(ans1==-1) { printf("No answer!\n");continue; }
		if(ans1>ans2) swap(ans1,ans2);printf("%d %d\n",ans1,ans2);
	}
	return 0;
}
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