二次剩余

定义：

对于方程$x^2\equiv n (mod \;p)\;,\;n$为p的二次剩余 , x为该二次同余方程的解

就如字面意思一样 , n就是一个二次项%p后的剩余

应用：

求$\sqrt{n}\%p\;,$若n为p的二次剩余 , 那么很明显$\sqrt{n}\%p=x\%p$

简单的说 , 如果该二次同余方程有解，那么n可以在模p的意义下开根号。

二次同余方程求解(%奇素数)：

勒让德符号(legender symbol)$\to (\dfrac{n}{p})$
表示n是否为p的二次剩余 , 1和-1表示是与否 , 0表示n为0的情况

定理 1:

$(\dfrac{n}{p})=n^{\frac{p-1}{2}}(mod\;p)$

也就是说知道了n和p相当于知道了这个符号的值

定理 2:

若找到一个a使 $a^2-n=w , 且(\dfrac{w}{p})=-1$

则$x=(n+\sqrt w)^{\frac{p+1}{2}}$为$x^2\equiv n(mod \;p)$的解

定理3可以证明随意找一个a就有50%的几率符合要求

定理 3:

对于二次同余方程$x^2\equiv n(mod\;p)$有$\frac{p-1}{2}+1$个n使此方程有解

本篇博客不进行定理的证明 , 因为过程打出来会过于冗长 , 很多初学者都会对这种一大段的证明心生畏惧 .

代码实现：

#include <iostream>
#include <ctime>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define random(a,b) (rand()%(b-a+1)+a)
LL quick_mod(LL a, LL b, LL c)
{ LL ans = 1;
    while (b) { if (b % 2 == 1)ans = (ans*a) % c; b /= 2; a = (a*a) % c;
    }return ans;
}

LL p;
LL w;//二次域的D值
bool ok;//是否有解

struct QuadraticField//二次域
{
    LL x, y;
    QuadraticField operator*(QuadraticField T)//二次域乘法重载
    {
        QuadraticField ans;
        ans.x = (this->x*T.x%p + this->y*T.y%p*w%p) % p;
        ans.y = (this->x*T.y%p + this->y*T.x%p) % p;
        return ans;
    }
    QuadraticField operator^(LL b)//二次域快速幂
    {
        QuadraticField ans;
        QuadraticField a = *this;
        ans.x = 1;
        ans.y = 0;
        while (b)
        {
            if (b & 1)
            {
                ans = ans*a;
                b--;
            }
            b /= 2;
            a = a*a;
        }
        return ans;
    }
};

LL Legender(LL a)//求勒让德符号
{
    LL ans=quick_mod(a, (p - 1) / 2, p);
    if (ans + 1 == p)//如果ans的值为-1，%p之后会变成p-1。
        return -1;
    else
        return ans;
}

LL Getw(LL n, LL a)//根据随机出来a的值确定对应w的值
{
    return ((a*a - n) % p + p) % p;//防爆处理
}

LL Solve(LL n)
{
    LL a;
    if (p == 2)//当p为2的时候，n只会是0或1，然后0和1就是对应的解
        return n;
    if (Legender(n) == -1)//无解
        ok = false;
    srand((unsigned)time(NULL));
    while (1)//随机a的值直到有解
    {
        a = random(0, p - 1);
        w = Getw(n, a);
        if (Legender(w) == -1)
            break;
    }
    QuadraticField ans,res;
    res.x = a;
    res.y = 1;//res的值就是a+根号w
    ans = res ^ ((p + 1) / 2);
    return ans.x;
}

int main()
{
    LL n,ans1,ans2;
    while (scanf("%lld%lld",&n,&p)!=EOF)
    {
        ok = true;
        n %= p;
        ans1 = Solve(n);
        ans2 = p - ans1;//一组解的和是p
        if (!ok)
        {
            printf("No root\n");
            continue;
        }
        if (ans1 == ans2)
            printf("%lld\n", ans1);
        else
            printf("%lld %lld\n", ans1, ans2);
    }
}