浅谈二次剩余

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二次剩余是数论基本概念之一，它是初等数论中非常重要的结果。
什么是二次剩余呢？简单来说就是如果存在一个整数 $x$，使得 $x^2≡n(mod\ p)$，那么则称 $n$是模 $p$的二次剩余。
有一种很巧妙的办法，可以得出一个数是否是模 $p$的二次剩余。这个办法是勒让德符号 $(\frac{n}{p})$。

如果 $n$是模 $p$的二次剩余，那么 $(\frac{n}{p})=1$；
如果 $n$不是模 $p$的二次剩余，那么 $(\frac{n}{p})=-1$；
如果 $p|n$，则 $(\frac{n}{p})=0$

这里有一个结论： $(\frac{n}{p})=n^{\frac{p-1}{2}}$ （前提是 $p$是奇质数）

证明：（不看也无所谓）
①如果 $n$是模 $p$的二次剩余，那么 $\sqrt n$与 $p$互质，那么根据费马小定理 $(\sqrt n)^{p-1}≡1(mod\ p)$。
②如果 $n$不是模 $p$的二次剩余，那么因为 $p$是奇质数，所以根据扩欧可知对于 $i∈[1,p-1]$，都有一个 $j∈[1,p-1]$使其满足 $ij≡n(mod\ p)$。所以我们可以把 $1,2……p-1$分成 $\frac{p-1}{2}$对，每对的乘积在模 $p$下都是 $n$，那么 $(p-1)!≡n^{\frac{p-1}{2}}(mod\ p)$，根据威尔逊定理有 $(p-1)!≡-1(mod\ p)$，所以 $n^{\frac{p-1}{2}}≡-1(mod\ p)$
③如果 $p|n$，那么显然 $n^{\frac{p-1}{2}}≡0(mod\ p)$

定理：对于方程 $x^2≡n(mod\ p)$，有 $\frac{p-1}{2}$个不同的 $n$,使得该方程有解。

证明：若有两个数 $u$和 $v$均满足它们的平方在 $p$时同余，那么必然有 $p|(u+v)(u−v)$。由于 $p$不可能整除 $u−v$，那么可以得出 $p$整除 $u+v$。这个结论反过来也是成立的，因此共有 $\frac{p-1}{2}$种不同的平方。且每一个 $p$的二次剩余恰好有两个解。

那么怎么求一个二次剩余呢？我们可以按照下面的方法:

在 $[0,p-1]$随机挑选一个数，称其为 $a$，定义 $w=a^2-n$，若 $(\frac{w}{p})=-1$，那么 $(a+\sqrt w)^{\frac{p+1}{2}}$就是一组二次剩余。

证明： $(a+\sqrt w)^{p}=\sum_{i=0}^{p}(C_{p}^{i}a^{p-i})(C_{p}^{p-i}(\sqrt w)^{i})$，由于 $p$是质数，所以除了 $C^{0}_{p}$和 $C_{p}^{p}$为 $1$外，所有的 $C_{p}^{i}(i∈[1,p-1])$模 $p$等于 $0$,所以 $(a+\sqrt w)^{p}≡a^p+\sqrt w^p\ (mod\ p)$。
由费马小定理可得 $a^p≡a(mod\ p)$,又因为 $(\frac{w}{p})=-1$即 $w^{\frac{p-1}{2}}=-1$,所以 $\sqrt w^{p}=-\sqrt w$
所以 $(a+\sqrt w)^{p}≡a^p+\sqrt w^p\ (mod\ p)≡a-\sqrt w(mod\ p)$
所以 $(a+\sqrt w)^{p+1}≡(a+\sqrt w)^{p}(a+\sqrt w)≡(a-\sqrt w)(a+\sqrt w)≡a^2-w≡n$

有了最后一个定理，我们就可以通过随机选择a的值来找到一个满足条件的解。可以证明找到正解所需的次数的期望只有2（然而我并不是特别会证）。所以随机取a的值可以很快地找到一个解。

部分代码：

struct field{
	int x,y;
	field(int a=0,int b=0){
		x=a;y=b;
	}
};
field operator*(field a,field b){return field(a.x*b.x%p+a.y*b.y%p*w%p,a.x*b.y%p+a.y*b.x%p);}

int ran(){
	static int seed=23333;
	return seed=((((((ll)seed^20030927)%p+330802)%p*9410)%p-19750115+p)%p^730903)%p;
}

int pows(int a,int b){
	int base=1;
	while(b){
		if(b&1) base=base*a%p;
		a=a*a%p;b/=2;
	}
	return base;
}

field powfield(field a,int b){
	field base=field(1,0);
	while(b){
		if(b&1) base=base*a;
		a=a*a;b/=2;
	}
	return base;
}

int legander(int x){
	int a=pows(x,(p-1)/2);
	if(a+1==p) return -1;
	return a;
}

int surplus(int x){
	int a;
	if(legander(x)==-1) return 0;
	while(1){
		a=ran()%p;
		w=((a*a-x)%p+p)%p;
		if(legander(w)==-1) break;
	}
	field b=field(a,1);
	b=powfield(b,(p+1)/2);
	return b.x;
}