二次剩余
x2≡n(mod p)
对于这个方程,求出满足的x。
引理1
首先来看一个符号
(pn)
这个符号叫做勒让德符号,这个符号里有两个值,一个是n,一个是p。假设p为奇素数,且n无法整除p时,他有以下定义
(pn)=n2p−1
当
(pn)=1时,存在一个x使得n是p的二次剩余
当
(pn)=−1时,不存在一个x使得n是p的二次剩余
例如,当p=11时。
(111)=1211−1=1(mod 11)所以1是11的二次剩余
而,
(113)=3211−1=−1(mod 11)所以3是11的二次非剩余
现在来证明
(pn)=n2p−1
这个等式
证明1
假设
(pn)=1即n为p的二次剩余时,设解为x
根据费马小定理,我们知道
xp−1≡1(mod p)x显然存在
假设
(pn)=1即n为p的二次剩余时
此时
x2≡n(mod p)无解
此时插入一个引理
若gcd(i,p)=1,且j为整数,则线性同余方程
ix≡j(mod p)的有模p的唯一解(这里就不证明了,具体百度线性同余方程)
因此对于i在1~p-1中,对于每个gcd(1,i)=1都存在整数j使得ij≡n(mod\ p);
因此我们可以把1~p-1中的数分成(p-1)/2对,每对两两相乘=n(根据上面的定理可以自己推)
然后累乘起来得到
(p−1)!≡n2p−1(mod p)
由威尔逊定理得到
(p−1)!=−1(mod p)(自行百度搜索威尔逊定理)
综上有
(pa)≡a2p−1(mod p)
引理2
有了上面的引理,我们来看看如何解这个方程。
首先我们在1~p-1上随机出一个a,然后设
w=a2−n,若w是p的二次非剩余,则解为
x=(a+w
)2p+1
为什么是这样?从末尾出发证明较为简单
证明2
x2=(a+w
)p+1=(a+w
)p∗(a+w
)=(ap+w
p)∗(a+w
)=(a−w
)∗(a+w
)=a2−w=a2−(a2−n)=n(mod p)
上述之中全都是在模p的意义下的运算,有一步骤可能有点蒙,现在我解释一下这一步
=(a+w
)p∗(a+w
)=(ap+w
p)∗(a+w
)=(a−w
)∗(a+w
)
先解释后两个等式,根据费马小定理,
ap−1≡1(mod p),所以
ap≡a(mod p)。
因为w是p的二次非剩余,所以有
w2p−1≡−1(mod p),所以
w2p≡−w
(mod p)
然后解释前两个等式
引理3
(a+b)p=ap+bp(mod p)
证明3
首先,根据二项式定理展开,除了第一项和最后一项之外,都会有一个组合数
ip是无法除掉的,所以对p取模都等于0,因此只剩下最后两项。
证毕
你最愿意做的哪件事,才是你的天赋所在