算数基本定理（唯一分解定理）
每个大于1的自然数均可写为质数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。
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证明:（反证法）
为了真正地证明，分解质因数的方法是唯一的，我们将再次用到反证法。
假设存在某些数，它们有至少两种分解方法。
那么根据上文提到的“非空正整数集里存在最小的元素”，一定有一个最小的数M，它能用至少两种方法表示成质数的乘积：
\(M = P_1 * P_2 * … * P_r = Q_1 * Q_2 * … * Q_s\)
下面我们将看到，这种假设会推出一个多么荒谬的结果来。
不妨设\(P_1 <= P_2 <= … <= P_r, Q_1 <= Q_2 <= … <= Q_s\)。
显然，\(P_1\)是不等于\(Q_1\)的，不然两边同时约掉它，我们就得到一个更小的有两种分解方法的数。
不妨设\(P_1 < Q_1\)，那么我们用\(P_1\)替换掉等式最右边中的\(Q_1\)，得到一个比\(M\)更小的数\(T = P_1 * Q_2 * Q_3 * … * Q_s\)。
令\(M’ = M – T\)，我们得到\(M’\)的两种表达：
$M’ = (P_1 * P_2 * … * P_r) – (P_1 * Q_2 * … * Q_s) $
\(\ \ \ \ \ = P_1 * (P_2 * .. * P_r – Q_2 * … * Q_s) ...... (1)\)
$M’ = (Q_1 * Q_2 * … * Q_s) – (P_1 * Q_2 * … * Q_s) $
$ = (Q_1 – P_1) * Q_2 * … * Q_s ……………… (2)$
由于\(T\)比\(M\)小，因此\(M’\)是正整数。
从(1)式中我们立即看到，\(P_1\)是\(M’\)的一个质因子。
注意到\(M’\)比\(M\)小，因此它的质因数分解方式应该是唯一的，可知\(P_1\)也应该出现在表达式(2)中。
既然\(P_1\)比所有的\(Q\)都要小，因此它不可能恰好是(2)式中的某个\(Q\)，于是只可能被包含在因子\((Q_1-P_1)\)里。
但这就意味着，\(\frac {Q_1-P_1}{P_1}\)除得尽，也就是说\(\frac {Q_1}{P_1-1}\)是一个整数，
这样\(\frac {Q_1}{P_1}\)也必须得是整数。我们立即看出，\(P_1\)必须也是\(Q_1\)的一个因子，这与\(Q_1\)是质数矛盾了。
这说明，我们最初的假设是错误的。
约数个数定理:
\(\displaystyle \prod^{k}_{i= 1} (a_i + 1)\)
证明：
由唯一分解定理\(n = p_1 ^{a_1} p_2 ^{a_2}p_3 ^{a_3}...p_k ^{a_k}\)可得:
\(n\)的约数一定是 \(p_1^{x} ... p_k^{z}\) \(x \in [0, a_1] ... z \in [0, a_k]\)
每一个可以取 \(a_i +１\)种可能.
根据乘法原理约数个数\(= (a_1 + 1) \ast (a_2 + 1) \ast ...\ast (a_k + 1)\).
即: \[\displaystyle \prod^{k}_{i= 1} (a_i + 1)\]