ACwing 97. 约数之和（唯一分解定理 + 快速幂）

题意：
假设现在有两个自然数A和B，S是 $A^{B}$的所有约数之和。

请你求出S mod 9901的值是多少。

输入格式
在一行中输入用空格隔开的两个整数A和B。

输出格式
输出一个整数，代表S mod 9901的值。

数据范围
$0≤A,B≤5×10^{7}$
输入样例：
2 3
输出样例：
15
注意: A和B不会同时为0。
思路：我们知道约数之和是积性函数。
即若 $a,b$互素 有
$f(ab) =f(a)*f(b)$
所以这道题目求 $A^{B}$的约数之和，我们不妨先用试除法进行质因子分解。
即
$n =p_{1}^{k1}p_{2}^{k2}p_{3}^{k3}......p_r^{kr}$
所以
$f(n)=f(p_{1}^{k1})f(p_{2}^{k2})f(p_2^{k3}).....f(p_r^{kr})$
然后有一个规律可以当做结论来用。
当 $p$为素数的时候
$f(p^{n})=p^{0}+p^{1}+p^{2}+.......+p^{n}$
$n+1项等比公式求和得$
$f(p^{n})=\dfrac {p^{n+1}-1}{p-1}$
因为有分数，所以我们对其取模的时候要求逆元。
$AC \ Code:$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<map>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 1000;
#define ll long long
ll Qpow(ll a,ll b,ll p){
    ll ans = 1;
    a %= p;
    while(b){
        if(b&1)
            ans = ans * a % p;
            b >>= 1;
            a = a * a%p;
    }
    return ans;
}
inline ll inv(ll a,ll mod){//蒙哥马利快速幂模
     ll inv_a=Qpow(a,mod-2,mod);
     return inv_a;
}
int prim[10000];
int cnt[10000];
int tot = 0;
int main(){
    ll mod = 9901;
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n == 0) return cout<<0,0;//有坑，特判0
    for(int i = 2; i*i<=n;++i){//试除法求质因子及其个数
        if(!(n%i)){
            prim[++tot] = i;
            while(!(n%i)) n/=i,cnt[tot] ++;
        }
    }
    if(n > 1) prim[++tot] = n,cnt[tot] ++;
    ll ans = 1;

    for(int i = 1;i <= tot;++i){//分开求每一项
        ll a = (Qpow(prim[i],cnt[i]*m + 1,mod) - 1 + mod) % mod * inv(prim[i] - 1,mod)%mod;
        ans = ans * a%mod;
    }
    cout<<ans<<endl;

}