【algo&ds】5.图及其存储结构、遍历

1.什么是图

图表示”多对多”的关系
包含
一组顶点：通常用 V（Vertex）表示顶点集合
一组边：通常用 E（Edge）表示边的集合
边是顶点对：（v,w）∈ E，其中 v,w ∈ V ，v—w
有向边 <v,w> 表示从 v 指向 w 的边（单行线） v→w
不考虑重边和自回路

常见术语
无向图：图中所有的边无所谓方向
有向图：图中的边可能是双向，也可能是单向的，方向是很重要的
权值：给图中每条边赋予的值，可能有各种各样的现实意义
网络：带权值的图
邻接点：有边直接相连的顶点
出度：从某顶点发出的边数
入度：指向某顶点的边数
稀疏图：顶点很多而边很少的图
稠密图：顶点多边也多的图
完全图：对于给定的一组顶点，顶点间都存在边

抽象数据类型定义
类型名称：图（Graph）
数据对象集：G（V，E）由一个非空的有限顶点集合 V 和一个有限边集合 E 组成
操作集：对于任意图 G ∈ Graph，以及 v ∈ V，e ∈ E
主要操作有：

Graph Crate()：建立并返回空图
Graph InsertVertex(Graph G,Vertex v)：将 v 插入 G
Graph InsertEdge(Graph G,Edge e)：将 e 插入 G
void DFS(Graph G,Vertex v)：从顶点 v 出发深度优先遍历图 G
void BFS(Graph G,Vertex v)：从顶点 v 出发宽度优先遍历图 G

2.图的存储结构表示

2.1邻接矩阵表示

邻接矩阵 G[N][N]——N 个顶点从 0 到 N-1 编号

存在边<vi,vj>，则G[i][j]=1，否则为0

特征：
对角线元素全 0
关于对角线对称

优点：
直观、简单、好理解
方便检查任意一对顶点间是否存在边
方便找任一顶点的所有邻接点
方便计算任一顶点的度
无向图：对应行（或列）非 0 元素的个数
有向图：对应行非 0 元素的个数是出度；对应列非 0 元素的个数是入度

缺点：
浪费空间——存稀疏图
浪费时间——统计稀疏图的边

代码实现

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MaxVertexNum 100
typedef int weightType;
typedef int Vertex;
typedef int DataType;
typedef struct GNode *ptrToGNode;
struct GNode{   // 图 
    int Nv;   // 顶点数 
    int Ne;   // 边数
    weightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
    DataType Data[MaxVertexNum]; // 存顶点的数据 
}; 
typedef ptrToGNode MGraph;
typedef struct ENode *ptrToENode;
struct ENode{  // 边 
    Vertex V1,V2;    // 有向边<V1,V2> 
    weightType Weight;  // 权重 
};
typedef ptrToENode Edge;

// 初始化图 
MGraph Create(int VertexNum){
    Vertex v,w;
    MGraph Graph;
    
    Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode));
    Graph->Nv = VertexNum;
    Graph->Ne = 0;
    
    for(v=0;v<VertexNum;v++)
        for(w=0;w<VertexNum;w++)
            Graph->G[v][w] = 0;
    return Graph;
}

// 插入边 
MGraph Insert(MGraph Graph,Edge E){
    
    // 插入边 <V1,V2>
    Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;
    
    // 如果是无向图，还需要插入边 <V2,V1>
    Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;
    
} 

// 建图 
MGraph BuildGraph(){
    MGraph Graph;
    Edge E;
    Vertex V;
    int Nv,i;
    scanf("%d",&Nv);   // 读入顶点数 
    Graph = Create(Nv);
    scanf("%d",&(Graph->Ne));  // 读入边数 
    if(Graph->Ne != 0){   
        E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode));
        for(i=0;i<Graph->Ne;i++){
            scanf("%d %d %d",&E->V1,&E->V2,&E->Weight);  // 读入每个边的数据 
            Insert(Graph,E);
        }
    }
    return Graph;
}

// 遍历图
void print(MGraph Graph){
    Vertex v,w;
    for(v=0;v<Graph->Nv;v++){
        for(w=0;w<Graph->Nv;w++)
            printf("%d ",Graph->G[v][w]);
        printf("\n");
    }
} 

int main(){
    MGraph Graph;
    Graph = BuildGraph();
    print(Graph);
    return 0;
}

2.2邻接表实现

特点：

• 方便找任一顶点的所有邻接顶点
• 节省稀疏图的空间
  • 需要 N 个头指针 + 2E 个结点（每个结点至少 2 个域）
• 对于是否方便计算任一顶点的度
  • 无向图：方便
  • 有向图：只能计算出度
• 不方便检查任意一对顶点间是否存在边

代码实现

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MaxVertexNum 100
typedef int Vertex; 
typedef int DataType; 
typedef int weightType;  

typedef struct ENode *ptrToENode;
struct ENode{  // 边 
    Vertex V1,V2;    // 有向边<V1,V2> 
    weightType Weight;  // 权重 
};
typedef ptrToENode Edge;

typedef struct AdjVNode *ptrToAdjVNode;
struct AdjVNode{  // 邻接表内元素 
    Vertex AdjV;  // 邻接点下标 
    weightType Weight;  // 权值 
    ptrToAdjVNode Next;  // 下一个 
};

typedef struct VNode{  // 邻接表头 
    ptrToAdjVNode FirstEdge;  // 存每个顶点指针
    DataType Data;  // 顶点数据 
}AdjList[MaxVertexNum];

typedef struct GNode *ptrToGNode;
struct GNode{  // 图 
    int Nv;  // 顶点
    int Ne;  // 边数 
    AdjList G; // 邻接表 
}; 
typedef ptrToGNode LGraph;

// 初始化 
LGraph create(int VertexNum){
    Vertex v,w;
    LGraph Graph;
    
    Graph = (LGraph)malloc(sizeof(struct GNode));
    Graph->Nv = VertexNum;  // 初始化边
    Graph->Ne = 0;   // 初始化点
    
    // 每条边的 FirstEdge 指向 NULL 
    for(v=0;v<Graph->Nv;v++)
        Graph->G[v].FirstEdge = NULL;
    return Graph;
}

// 插入一条边到邻接表的顶点指针之后 
void InsertEdge(LGraph Graph,Edge E){
    ptrToAdjVNode newNode; 
    
    /**************** 插入边<V1,V2> ******************/ 
    // 为 V2 建立新的结点 
    newNode = (ptrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
    newNode->AdjV = E->V2;
    newNode->Weight = E->Weight;
    
    // 将 V2 插入到邻接表头 
    newNode->Next = Graph->G[E->V1].FirstEdge;
    Graph->G[E->V1].FirstEdge = newNode;
    
    /*************** 若为无向图，插入边<V2,V1> *************/ 
    newNode = (ptrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
    newNode->AdjV = E->V1;
    newNode->Weight = E->Weight;
    
    newNode->Next = Graph->G[E->V2].FirstEdge;
    Graph->G[E->V2].FirstEdge = newNode;
} 

// 建图
LGraph BuildGraph(){
    LGraph Graph;
    Edge E;
    Vertex V;
    int Nv,i;
    scanf("%d",&Nv);
    Graph = create(Nv);
    scanf("%d",&(Graph->Ne));
    if(Graph->Ne != 0){
        for(i=0;i<Graph->Ne;i++){
            E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode));
            scanf("%d %d %d",&E->V1,&E->V2,&E->Weight);
            InsertEdge(Graph,E);
        }
    }
    return Graph;
} 

// 打印 
void print(LGraph Graph){
    Vertex v;
    ptrToAdjVNode tmp;
    for(v=0;v<Graph->Nv;v++){
        tmp = Graph->G[v].FirstEdge;
        printf("%d ",v);
        while(tmp){
            printf("%d ",tmp->AdjV);
            tmp = tmp->Next;
        }
        printf("\n");
    }
}

int main(){
    LGraph Graph;
    Graph = BuildGraph();
    print(Graph);
    return 0;
}

3.图的遍历

3.1深度优先搜索DFS

void DFS ( Vertex V ){
    visited[ V ] = true;
    for ( V 的每个邻接点 W )
        if( !visited[ W ])
            DFS( W );
}

3.2广度优先搜索BFS

void BFS( Vertex V ){
    queue<Vertex> q;
    visited[V] = true;
    q.push(V);
    while(!q.empty()){
        V = q.front(); q.pop();
        for( V 的每个邻接点 W ){
            if( !visited[ W ]){
                visited[W] = true;
                q.push(W);
            }
        }
    }
}