图的概念：图的数据结构由两个集合构成，一个是顶点集V (vertex)，一个是边集E（Edge）；无向图一般记为G(V , E) ；有向图记为 G<V， E>
有向图就是边的指向是有方向区分的，例如从A->B ；从A可以到B，但是B不能到A（有向图的边是一个箭头，称之为弧，弧头是w，弧尾是v）
无向图的边是无方向区分的，只要A-B，从A可以到B，从B也可以到A
重要概念如下：
1:图一定不可以是空图，也就是说顶点集一定不能为空，边集可以为空
2:完全图：若任意两个顶点之间都存在着边（注意这里的边是任意两个顶点直接相连的边），则称该图是完全图。
无向完全图有n*(n-1) / 2 条边。
有向完全图有n*(n-1) 条边
3:子图：图中的某一部分顶点和一部分与顶点相连的边构成的新图，即是子图。（注意一定不能是简单的说“边的子集”和“顶点的子集”，必须是与顶点相连的边才可以构成子图）
针对无向图来说，超级重要的概念有：
4:连通：若从顶点A到顶点B有路径存在，则称AB是连通的
5:连通图和非连通图：如果图中任意两个顶点都有路径存在（不一定是直接相连的路径，这里注意跟完全图概念区分），则称该图为连通图，其实也就是字面意思“整张图是连通的”，如果有某些顶点与其它顶点并不连通，即某些顶点时孤立的，则称为非连通图。
6:连通分量（也称极大连通子图）：一张图G中假如有ABC连通，DE连通，则称之有两个连通分量，即两个极大连通子图（也就是图G中，连通的子图）。
（7）对于无向图来说，N个顶点，至少需要N-1条边，才能形成连通图（画图好理解），如果N个顶点需要构成完全图，最少需要n*(n-1)/2条边。
如果边数小于n-1，则该图肯定是非连通图。
针对有向图来说，超级重要的概念有：
8:强连通：这个概念跟无向图的连通一定要区分，因为有向图是有向的，所以它的连通一定是“更强”的连通，所以记强连通。若AB强连通，则一定要有A->B 以及 A<- B；也就是两个方向都必须有，才能称为强连通。
9:强连通图：若有向图G中，图中任意两个顶点都有路径存在（不需要直接连接的路径，可以经过N个顶点，只要能有路径），则图G是强连通图
10:强连通分量（也称极大强连通子图）：跟无向图连通分量的概念一定要区分，强连通分量是指子图中一定要存在环，所以判断一个有向图是否存在强连通分量，一定要去找环，如果无环，证明最后一个顶点D无法回溯到第一个顶点A，也就是D到A没有路径，那么就不是强连通的。
11:对于有向图来说，N个顶点的有向图，最少最少需要n条边（构成一个环），才能构成强连通图。要构成有向完全图（有向完全图一定是强连通图，任意顶点都有来回两个箭头路径），则需要n*(n-1)条边。
极大连通子图和极小连通子图：
12:都是针对无向图的说法，极大和极小的区别，就在于极大必须包含该子图的所有的边，也就是说不单止要连通，还要保留全部边。极小连通子图只需要保留保证图连通的最少的边数，也就是说能连通就行。
注意⚠️：生成树是极小连通子图，生成树不是极大连通子图（因为不会包含所有边），所以生成树当然就不是连通分量
稠密图和稀疏图：
13:稠密和稀疏是针对边来说的，边数多就是稠密，边数少就是稀疏。（想像成渔网，边数多，整张网就很密，边数少，整张网就很稀疏）
图的例题：
（1）N个顶点N条边的无向图，一定是有环的（画图可以发现，若每个顶点都有一条边，则一定有环）；但是注意有环不一定连通，是否连通还要看边数（若n个结点的无向图有n*(n-1)/2条边，则一定一定是完全图，完全图一定是连通的且有环的）和从某个顶点进行深搜或者广搜是否可以遍历整张图。
（2）图的遍历并不是单纯的从某个顶点出发遍历其余顶点。因为图有可能是非连通的，单纯从某个顶点开始，只能遍历某张子图，其余子图中的顶点是遍历不到的，所以要遍历图，必须循环遍历顶点集V，遍历过的顶点打上标记，若一次遍历完成之后还有某些顶点未被打上遍历标记的，则开始下一轮循环，直到把顶点集V所有的顶点都打上遍历标记（此时的子图中的顶点也已被遍历），才算是一次完整的图的遍历。
（3）一个有28条边的非连通无向图至少有（）个顶点
分析：有28条边还非连通，要求顶点最少，要让顶点最少，耗费边数还要多，那肯定就是完全图这个败家子，则看看28条边能构成多少个顶点的无向完全图，代入公式：N*(N-1) / 2 = 28 ; 解得N = 8 ；8个顶点用28条边构成了一个完全无向图，但是题目要非连通，那就再加一个孤立的顶点，9个顶点即可。类似题目很多，但是都是考无向有向图的完全图的边数公式而已。
（4）【2010】若无向图G(V ,E) 中含有7个顶点，保证图G在任何情况下都是连通的，则最少需要（16）条边
因为它有7个顶点，还要保证任何情况都连通，那么只能看它添了多少条边的时候，再添一条边一定连通，也就是先让它6个顶点构成无向完全图，消耗掉 6 * (6-1) / 2 = 15 条边，然后再 + 1 = 16，这样它就一定会跟第七个顶点相连通了。这样图G的一定一定能保证是连通图。因为15条边已经把6个顶点塞饱了，它们已经没地方再加一条边了，只能跟第七个顶点发生关系，一发生关系，马上构成连通图。
具有6个顶点的无向图，当有（）条边时，可以确保是一个连通图
这题跟上一题完全一样的思路，6个顶点无向图，先塞饱5个顶点，用 5*（5-1）/2 = 10 条边，此时再+1条边= 11，一定会跟第六个顶点发生关系，构成连通图
（5）图G有n个顶点，若是连通无向图，边的个数至少是：
根据公式，只要保证连通，n个顶点的无向图只需要n-1条边
若是强连通有向图，边的个数至少是：
根据公式，要保证强连通，n个顶点必须要用n条边绕一个环
（6）无向图G有23条边，度为4的顶点有5个，度为3的顶点有4个，其余都是度为2的顶点，则图G一共有多少个顶点？
分析：
一条边能贡献两个度，则一共46个度，度为4的有5个顶点，则消耗了20个度；度为3的4个顶点消耗了12个度；剩余 46 - 12-20 = 14；题目又说其余都是度为2的，则14 / 2 = 7 ；即有7个度为2的顶点，图G则一共有 7 + 5 + 4 = 16 个顶点
（7）若一个具有n个顶点，e条边的无向图是一个森林，则该森林必有（）棵树
这道题也是王道的，一般这种题都是特值法，取一个非常极端但是又合理的例子（例如度为3的树，有10086个结点，问树深度高度，直接用10083个做结点叠层数，最后3个做叶子结点这种变态例子）
思路一：这里我们假设森林有x棵树，那么我要用x-1条边，就可以连成一棵新的生树，但是原本这x棵树里面又有e条边，所以这棵新的树一共有x-1+e条边。根据树的性质，除了根结点没边连着它，其余每个结点都至少有一条边指向它，所以 总结点数 = 总边数 + 1
也就是 n = (x-1+e) + 1
x = n-e
思路二：例如我假设e条边每一条边都连接着两个顶点，构成一棵树，那么就消耗了2e个顶点组成了e棵树，剩下的顶点自己孤零零构成一棵没有边的树，也就是剩下：n - 2e个顶点，一共 n - 2e 棵树；
那么一共有 ： n-2e+e = n - e 棵树
（8）【2017】已知无向图G含有16条边，度为4的顶点有3个，度为3的顶点有4个，其它顶点的度小于3，则图G中所含的顶点个数至少是（）
分析：
16条边奉献32个度，度4有3个，消耗12度；度3有4个，消耗12个度；则剩余：32 - 12 -12 = 8 度
；剩余可能有度1度2的顶点，但是题目要所包含的顶点数至少，也就是最少最少可以允许只有多少个顶点，那我肯定选择度为2，这样一个顶点消耗2度，能尽快消耗完剩余的度数。8 / 2 = 4 ；也就是只需要再用4个度为2的顶点即可。
则总顶点一共有：
3 + 4 + 4 = 11 个
图的存储
邻接矩阵法（适合稠密图）：
typedef struct {
char v[100];
int e[100][100];
} Graph;
邻接矩阵法存储无向图时，一定是一个对称矩阵，因为它不分出度还是入度，既然是对称矩阵，所以它又支持压缩存储，即只存储上三角或者下三角部分，所以在稠密图的应用中，它有非常好的效果。
它的具体存储方式如下：
针对一张4个顶点的无向图
（1）假设有ABCD个顶点，则生成一个4*4的方阵，行和列都是ABCD，然后依次从第一行第一列开始填01（有边1，无边0）
这个矩阵由于次数是1，所以代表着从某点到某点，路径长度为1的路线有多少条，那么可以很清楚看到，从A到A的长度为1的零条，A到B一条，B到C一条
（2）若在这个矩阵基础上，再乘以自身，得到矩阵的平方，平方次数是2，则代表着从某点到某点，路径长度为2的路线有多少条：
例如从矩阵上反映，从A到A路径长度为2的有2条，这两条分别是 【A】【B】（左边矩阵第一行第二列）乘以 【B】【A】（右边矩阵第二列第一行）+【A】【C】 乘以【C】【A】 = 2。也就代表着 这两条路线是：从A到B，再从B回到A；或者从A到C，再从C回到A；
是不是很神奇，再举一个例子：新矩阵从C到C的路径长度为2的路线有3条，分别是：
【C】【A】乘以【A】【C】 + 【C】【B】乘以【B】【C】 + 【C】【D】乘以【D】【C】 = 3
也就是说，从C到A再从A回到C
从C到B再从B回到C
从C到D再从D回到C
完美把路线和路线条数都展示出来了。
（3）如果再平方基础上再乘以自身，形成立方的矩阵，则代表着从某点到某点的，路径长度为3的路线有多少条，分别怎么走，都会明明白白：
基于路径长度为2的基础上，从A到C点的路径长度为3的路线有4条，分别是：
（1）【A】【A】乘以【A】【C】 + （2）【A】【B】乘以【B】【C】 + （3）【A】【D】乘以【D】【C】 = 4
左边矩阵是平方基础上得来的，所以要看回平方时候的路线图：
代表着4条路径长度为3的路径分别为：
（1）
其中【A】【A】是矩阵平方时候产生的路径【A】【B】乘以 【B】【A】+【A】【C】 乘以【C】【A】 = 2
从A到B，再从B回到A，再从A出发到C
从A到C，再从C回到A，再从A出发到C
（2）
【A】【B】是矩阵平方时候产生的路径【A】【C】乘以 【C】【B】= 1
从A到C，再从C到B，再从B到C
（3）
【A】【D】是矩阵平方时候产生的路径【A】【C】乘以 【C】【D】= 1
从A到C，再从C到D，最后从D回到C
虽然这样绕来绕去看起来好像很傻，但是它确确实实能为我们指明一条路是从某点通往某点的，如果不想走回头路，可以再加其它业务逻辑去筛掉即可。这个作用还是很强大的。
邻接矩阵存储有向图：
有向图用1表示出度，也就是指出去的对应下标为1，入度为0（很好理解，因为这里1表示的是此路可通行，而有向图的入度对于当前顶点来说是不可通行的，相当于没路，所以也就是0，只有出度，可通行，为1）
这里也是指的路径长度为1的，如果要看路径长度为2的，也可以做该矩阵的平方，跟无向图是一个玩法
优点：
直观，方便简单，易于编码实现。
如果是存储稠密图，如果是无向图配合上下三角矩阵转一维数组的压缩方式，可以节省很多空间。
缺点：
效率相对很低，计算量很大，中间结果存储会占用很大内存空间。
由于矩阵固定是n*n方阵，如果是稀疏图，会产生很多不必要的空的存储空间。
如果要在邻接矩阵中删除某个结点，则需要遍历，时间复杂度O(n)
邻接表法
为了更高效更方便存储稀疏矩阵，于是有了邻接表法，它利用数组+链表的存储方式（类似于哈希表），给每一个顶点分配一个数组下标位置，同时把与该顶点相连的顶点的数组下标链接在结点后面。
// 边表结点
typedef struct ArcNode{
int index; // 该边指向的顶点的数组下标
struct ArcNode *next; //下一个边表结点的指针
} ArcNode;
// 顶点表结点
typedef struct VNode{
char data; // 顶点信息，存储例如：ABCD，1234之类的值
ArcNode *next; // 链接第一个边表结点
} AdjList[100];
// 邻接表结构
typedef struct {
AdjList[100];
int vexnum; arcnum; // 顶点数和弧数
} ALGraph
如果是无向图，则一条边会同时存在于两个边表结点；如果针对有向图，则是只记录出边，一条边只会存在于一个边表结点
（本图摘自王道数据结构）
如果是用邻接表存储无向图，则边表结点一定是偶数个；如果是奇数个边表结点，那么一定是有向图。
例题：
（1）n个顶点的无向图的邻接表最多有（n*(n-1)）个边表结点
分析：n个顶点的无向图，如果是完全图，则边最多，最多有 n*(n-1) / 2 条边，每条边都会产生两个边表结点，所以最多会有 n*(n-1) 个边表结点。
（2）假设有n个顶点，e条边的有向图用邻接表表示，则删除与某个顶点v相关的所有边的时间复杂度是：O（n+e）
分析：
要删除某个顶点的所有边，则要循环找到对应顶点v，然后依次删除它的出边表，此时关于顶点v的出边就全部删掉了，因为出边表最多有n-1个，也就是假设v对其它所有顶点都有出边
在上面循环中，还要删除它的入边，删除入边首先遍历顶点表结点O(n)，逐个找除了V以外的顶点表结点的出边表链接O(e)，删除与V相关的出边，这样V的入边也会消失了、
总的复杂度是O(n+e)
（3）【2021】已知无向连通图G由顶点集V和边集E组成，|E|>0，当G中度为奇数的顶点个数为不大于2的偶数时，G存在包含所有边且长度为|E|的路径（称为EL）路径（图G采用邻接矩阵存储）
（1）设计算法，判断G是否存在EL路径，如果存在，返回1，否则返回0；给出算法的基本思想
（说实话，当时看题目描述的什么度为奇数的顶点个数为不大于2的偶数，就包含EL路径。这一段卡了好久没想懂，根本搞不懂它要求什么，后来也是看了解析才知道我们只需要统计度为奇数顶点个数即可，看它是不是0或者2即可，不用管它什么鸡毛EL路径）
既然使用邻接矩阵，那我外层循环只需要从第一行遍历到最后一行，内存循环从第一列遍历到最后一列，每一行就是一个顶点的出入度信息，为1则++ ，最后拿它的度判断%2是否=0，如果是，证明当前顶点是偶数，如果不是，证明当前顶点的度是奇数，奇数顶点sum++;
最后看sum是不是0或者2，是则有EL路径，不是则没有。
（2）代码
（3）说明所设计算法的时间复杂度和空间复杂度
由于邻接矩阵是n*n的方阵，循环耗费O(n^2)；空间复杂度O(1)
图的遍历：
深度优先 BFS（专注地一条路走到底，走到无路可走，再回头选其他路）
过程：
初始化一个辅助队列
（1）假设从根结点a开始，相连有b，c结点，则先把a入队，然后把a出队，然后把b, c 入队
（2）b出队，把b临近的d e 入队；c 出队，把c临近的fg入队
（3）d 出队，hi入队，e出队，啥都没入队，f出队，j入队，g出队，k入队
（4）hi出队，jk出队
（5）深度搜索完成
由于借助了一个辅助数组，大小一般设定为顶点个数，空间复杂度O(V)
当使用邻接表存储时：
搜索顶点的连接点，是顺着边摸索过去的，所以肯定是每条边都遍历一边，时间复杂度是O(E)
当使用邻接矩阵存储时：
由于N*N 个顶点的方阵、时间复杂度也就是O(V^2) 次
根据广度优先可以产生一棵树，称之为广度优先生成树，但是广度优先生成树并不唯一
广度优先 DFS（由近至远，每次都往每一个方向迈一步）
深度搜索一般通过递归的方式进行
（1）从a开始，先找b，b到d，d到h，第一条路走到头了，退回d
（2）d到i，第二条路也到头了，退回d，d发现这条路都走过了，退回b
（3）b到e，到头了，退回b，b发现路都走过了，退回a
（4）a到c。。。。。。
(5) 继续1～4的步骤，直到把所有的路都走完，这就是深度优先搜索
有多少个顶点，就会递归多少次，递归使用的递归工作栈，所以空间复杂度是O(V)
当使用邻接表存储时：
时间复杂度为O(V + E) ;
当使用邻接矩阵存储时：
由于N*N 个顶点的方阵、时间复杂度也就是O(V^2) 次