图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间的边组成。G（V,E） V表示顶点的集合，E表示边的集合。
在无向图中，边可以表示为E1={(A,D),(B,C)}
在有向图中，顶点v1和v2的有向边称为弧。表示为<v1,v2> v1称为弧尾，v2称为弧顶。
在无向图中，如果任意边两个顶点都存在边，则该图为无向完全图，n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。
在有向图中，如果任意边两个顶点都存在互为相反边，则该图为有向完全图，n个顶点的有向完全图有n*(n-1)条边。
稀疏图，稠密图。
带权图称为网。
子图如下。
无向图的度指的是顶点关联的边的数量，容易得出总边数=度的总数/2
有向图分为出度和入度，以顶点为弧尾的边的数量为出度，以顶点为弧顶的边的数量称为入度。
第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环 (Cycle）。 序列中顶点不重 复出现的路径称为简单路径. 除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复 出现的回路，称为简单回路或简单环。
任意顶点都是连通的称为连通图。
无向图中的极大连通子图称为连通分量。
有向图中，所有顶点都存在路径称为强连通图，左图不是强连通图，右图是强连通图，同时右图是左图的极大强连通子图。
连通图的生成树是极小的的连通子图
图通常有五种存储方式，邻接矩阵、邻接表、十字链表、邻接多重表、边集数组。
邻接矩阵用一个一维数组来表示顶点，用一个二维数组来表示边。
对于无向图来说，矩阵是一个对称矩阵。
对于有向图，可以把边表中没有弧的地方设为-1。
邻接表是对邻接矩阵的改进，由于稀疏图中边很少，所有二维数组中很多地方都为0。我们可以用链表存储顶点信息，同时保存一个指向边表的结点。
同一个顶点指向的单链表不分先后顺序。
有向图 的邻接表（结点不分先后）
带权有向图邻接表的实现：
package GraphAdjList; import java.util.ArrayList; import java.util.List; //带权有向图邻接表实现(出度表) public class GraphAdjList<T>{ public List<VertexNode<T>> list; public GraphAdjList(T[] datas) { list=new ArrayList<VertexNode<T>>(); System.out.println("初始化顶点表"); for(int i=0;i<datas.length;i++) { VertexNode<T> node=new VertexNode<T>(); node.data=datas[i]; list.add(node); } } //增加顶点 public void insertVertexNode(T x) { VertexNode<T> node=new VertexNode(); node.data=x; System.out.println("新增顶点"); list.add(node); } //遍历顶点表 public void traversalByVertexNode() { for(VertexNode<T> v:list) { System.out.println(v.data); } } //获取坐标index的顶点 public VertexNode<T> getVertexNode(int index) { return list.get(index); } /** * 新增弧 * @param x 弧头坐标 * @param ajavex 弧尾坐标 * @param weight 权值 */ public void addEdge(int x,int ajavex,int weight) { EdgeNode temp=getVertexNode(x).next; while(temp!=null) { temp=temp.next; } EdgeNode node=new EdgeNode(); node.ajavex=ajavex; node.weight=weight; temp.next=node; } } //顶点表 class VertexNode<T> { T data; EdgeNode next;//指向邻接结点的头指针 } //边表 class EdgeNode { int ajavex;//邻接点坐标 int weight;//权值 EdgeNode next;//邻接点指针 }
测试：
package GraphAdjList; import java.util.List; public class App { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub String[] str={"V1","V2","V3","V4"}; GraphAdjList<String> g=new GraphAdjList<String>(str); g.traversalByVertexNode(); g.insertVertexNode("V5"); g.traversalByVertexNode(); } }
结果：
初始化顶点表
V1
V2
V3
V4
新增顶点
V1
V2
V3
V4
V5
十字链表将出度表和入度表结合起来。
顶点表
边表：
多重邻接表：无向图的优化
深度遍历和广度遍历：
深度遍历类似树的先序遍历，始终选取靠左/靠右的顶点，如果某个结点连接的结点都被访问后则原路返回。用递归来实现
广度遍历则类似树的层序遍历，将每次出队的顶点的相互连接的顶点入队，用队列来来实现
带权无向图邻接矩阵实现,深度遍历、广度遍历：
package AMWGraph; import java.util.ArrayList; import java.util.LinkedList; import java.util.List; //带权无向图邻接矩阵实现,深度遍历、广度遍历 public class AMWGraph { public List<Object> vertexList;//结点链表 public int[][] edges;//邻接矩阵 public int numOfEdges;//边的数目 public boolean[] isVisited; public int count=0; public AMWGraph(int n,String[] v) { isVisited=new boolean[n]; vertexList=new ArrayList<>(); edges=new int[n][n]; for(int i=0;i<n;i++) { vertexList.add(v[i]); isVisited[i]=false; } numOfEdges=0; } //得到结点数目 public int getNumOfVertex() { return vertexList.size(); } //得到边的数目 public int getNumOfEdges() { return numOfEdges; } //得到结点i的数据 public Object getValueByIndex(int i) { return vertexList.get(i); } //返回v1,v2的权值 public int getWeight(int v1,int v2) { return edges[v1][v2]; } //插入结点 public void insertVertex(Object vertex) { vertexList.add(vertex); System.out.println("增加结点"); int[][] temp=edges; int lengside; lengside=getNumOfVertex(); //顶点数量 edges=new int[lengside][lengside]; for(int i=0;i<temp.length;i++){ for(int j=0;j<temp[i].length;j++) { edges[i][j]=temp[i][j]; } } boolean[] isVisitedTemp=isVisited; isVisited=new boolean[lengside]; for(int i=0;i<isVisitedTemp.length;i++) { isVisited[i]=isVisitedTemp[i]; } isVisited[lengside-1]=false; } //插入边 public void insertEdge(int v1,int v2,int weight) { edges[v1][v2]=weight; edges[v2][v1]=weight; numOfEdges++; } //删除边 public void deleteEdge(int v1,int v2) { edges[v1][v2]=0; numOfEdges--; } //根据一个顶点的下标，返回该顶点的第一个邻接结点的下标 public int getFirstNeighbor(int index) { for(int j=0;j<vertexList.size();j++) { if(edges[index][j]>0) { return j; } } return -1; } //根据一个邻接结点的下标来取得下一个邻接结点的下标 public int getNextNeighbor(int v1,int v2) { for(int j=v2+1;j<vertexList.size();j++) { if(edges[v1][j]>0) { return j; } } return -1; } //深度遍历 public void depthFirstSearch(boolean[] isVisited,int i) { System.out.println(getValueByIndex(i)); isVisited[i]=true; int w=getFirstNeighbor(i); while(w!=-1) { if(!isVisited[w]) { depthFirstSearch(isVisited,w); } w=getNextNeighbor(i, w); } } //深度优先遍历 public void depthFirstSearch() { for(int i=0;i<getNumOfVertex();i++) //非连通图需要选择多个结点，本结构为连通图 { if(!isVisited[i]) { count++; depthFirstSearch(isVisited,i); } } } //广度优先遍历 private void broadFirstSearch(boolean[] isVisited,int i) { int u,w; LinkedList<Integer>queue=new LinkedList(); System.out.println(getValueByIndex(i)+" "); isVisited[i]=true; queue.addLast(i);//坐标进队列 while(!queue.isEmpty()) { u=((Integer)queue.removeFirst()); w=getFirstNeighbor(i); while(w!=-1) { if(!isVisited[w]) { System.out.println(getValueByIndex(w)+" "); isVisited[w]=true; queue.addLast(w); } w=getNextNeighbor(i, w); } } } //广度遍历 public void broadFirstSearch() { for(int i=0;i<getNumOfVertex();i++) { if(!isVisited[i]) { count++; broadFirstSearch(isVisited,i); } } } }
测试：
package AMWGraph; public class App { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub String[] labels={"A","B","C","D","E","F","G","H","I"}; AMWGraph graph=new AMWGraph(labels.length,labels); graph.insertEdge(0, 1, 1); graph.insertEdge(0, 5, 1); graph.insertEdge(1, 2, 1); graph.insertEdge(1, 8, 1); graph.insertEdge(1, 6, 1); graph.insertEdge(5, 6, 1); graph.insertEdge(2, 3, 1); graph.insertEdge(3, 4, 1); graph.insertEdge(4, 5, 1); graph.insertEdge(6, 7, 1); graph.insertEdge(3, 7, 1); graph.insertEdge(3, 6, 1); System.out.println("结点个数:"+graph.getNumOfVertex()); System.out.println("边个数:"+graph.getNumOfEdges()); // graph.depthFirstSearch(); // System.out.println(graph.count); graph.broadFirstSearch(); System.out.println(graph.count); } }
结果：
DFS 结点个数:9 边个数:12 A B C D E F G H I 重新选择结点次数:1 BFS 结点个数:9 边个数:12 A B F C D E G H I 重新选择结点次数:5