如何通俗的解释仿射变换？

原文地址：https://www.matongxue.com/madocs/244.html

简单来说，“仿射变换”就是：“线性变换”+“平移”。

先看什么是线性变换？

1 线性变换

线性变换从几何直观有三个要点：

• 变换前是直线的，变换后依然是直线
• 直线比例保持不变
• 变换前是原点的，变换后依然是原点

比如说旋转：

比如说推移：

这两个叠加也是线性变换：

自己动手试一下（观察下是否符合之前的三个要求）：

 

 

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1.1 代数

简单讲一下旋转是怎么实现的，可以让我们进一步了解代数是怎么描述线性变换的。

你可以手动操作下，会发现旋转矩阵在不断变化（为了方便观察旋转，我标记出一个顶点）：

 

 

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总结下来，线性变换是通过矩阵乘法来实现的。

2 仿射变换

仿射变换从几何直观只有两个要点：

• 变换前是直线的，变换后依然是直线
• 直线比例保持不变

少了原点保持不变这一条。

比如平移：

因此，平移不再是线性变化了，而是仿射变化。

2.1 代数

我们来看下仿射变换是怎么用代数来表示的。

上一节我们说了，线性变换是通过矩阵乘法来实现的，仿射变换不能光通过矩阵乘法来实现，还得有加法。

因为我们表示仿射变换为：

2.2 通过线性变换来完成仿射变换

这是我觉得非常优美的一个地方：

什么意思？继续举例子：

这样我就可以在三维空间下通过 这个线性变换来操作 平面上的二维正方形，完成仿射变换：

自己动手操作一下：

 

 

 

 

 

 

 

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我们平移到需要的位置的时候：

如果还有没有清楚的地方，可以结合之前的描述，看一下维基百科“仿射变换”词条里的一个gif动图，非常生动的表明了这一过程：