CSP2019前夕整理一下模板，顺便供之后使用
1. 数据结构
1.1. 虚树
描述:
给定树上的\(k\)个关键点，构建出一棵虚树，只有关键点和任意两个关键点的LCA会被保留，且原树上的祖先关系和虚树上祖先关系保持一致。可以证明虚树最多有\((2k-1)\)个点。
把所有关键点按DFS序排序，用一个栈维护动态加点连边即可。时间复杂度\(O(k\log n)\).
注意事项:
一定要处理好最先加入栈中的点(所有点的LCA).
代码:
addedge0_(u,v)表示在\(u\)和\(v\)之间连边，边权根据实际情况确定。
bool cmp(int x,int y) {return dfn[x]<dfn[y];}
void build()
{
sort(ky+1,ky+kyn+1,cmp); rt = ky[1]; for(int i=2; i<=kyn; i++) rt = LCA(rt,ky[i]).first;
tp = 1; stk[tp] = rt; n0++; kid[n0] = rt; isky[ky[1]] = true;
for(int i=(rt==ky[1]?2:1); i<=kyn; i++)
{
int u = ky[i],lca = LCA(stk[tp],u).first;
if(lca==stk[tp]) {tp++; stk[tp] = u; n0++; kid[n0] = u; isky[u] = true;}
else
{
while(tp>1 && dep[stk[tp-1]]>dep[lca]) {addedge0_(stk[tp],stk[tp-1]); tp--;}
addedge0_(stk[tp],lca); tp--;
if(stk[tp]!=lca)
{
tp++; stk[tp] = lca; n0++; kid[n0] = lca;
}
tp++; stk[tp] = u; n0++; kid[n0] = u; isky[u] = true;
}
}
while(tp>1)
{
addedge0_(stk[tp],stk[tp-1]);
tp--;
}
}1.2. 左偏树
描述:
可并堆的一种实现，支持插入、删除、合并、取最小值等堆操作，单个操作时间复杂度均不超过\(O(\log n)\).
代码:
int merge(int u,int v)
{
if(u==0||v==0) return u+v;
if(val[u]>val[v]) swap(u,v);
son[u][1] = merge(son[u][1],v);
if(dis[son[u][1]]>dis[son[u][0]]) {swap(son[u][1],son[u][0]);}
dis[u] = dis[son[u][1]]+1;
return u;
}
void insert(int u,int x)
{
siz++; val[siz] = x;
rtn[u] = merge(rtn[u],siz);
}
int popnode(int u)
{
return merge(son[u][0],son[u][1]);
}1.3. KD树
暂无
2. 字符串
2.1. 后缀数组
描述:
倍增法求后缀数组，时间复杂度\(O(n\log n)\).
sa[i]: 排在第\(i\)位的后缀
rk[i]: 后缀\(i\)的排名
h[i]: 后缀\(i\)与其前一名的后缀的LCP。
height[i]: 第\(i\)名与其前一名的后缀的LCP.
注意:
(1) w1处不可令h[1]=1然后从\(2\)开始循环。
代码:
namespace SA
{
int height[N+3],h[N+3],tmp[N+3],st[lgN+2][N+3],buc[N+3];
void buildSA()
{
int *x = rk,*y = tmp;
for(int i=1; i<=S; i++) buc[i] = 0;
for(int i=1; i<=n; i++) buc[x[i]=a[i]]++;
for(int i=1; i<=S; i++) buc[i] += buc[i-1];
for(int i=n; i>=1; i--) sa[buc[x[i]]--] = i;
int p = 0,s = S;
for(int j=1; p<n; j<<=1)
{
p = 0;
for(int i=n-j+1; i<=n; i++) y[++p] = i;
for(int i=1; i<=n; i++) {if(sa[i]>j) y[++p] = sa[i]-j;}
for(int i=1; i<=s; i++) buc[i] = 0;
for(int i=1; i<=n; i++) buc[x[y[i]]]++;
for(int i=1; i<=s; i++) buc[i] += buc[i-1];
for(int i=n; i>=1; i--) sa[buc[x[y[i]]]--] = y[i];
p = 1; swap(x,y); x[sa[1]] = 1;
for(int i=2; i<=n; i++) x[sa[i]] = y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+j]==y[sa[i-1]+j]?p:++p;
s = p;
}
for(int i=1; i<=n; i++) rk[sa[i]] = i;
for(int i=1; i<=n; i++) //w1
{
h[i] = h[i-1]==0?0:h[i-1]-1;
while(i+h[i]<=n && sa[rk[i]-1]+h[i]<=n && a[i+h[i]]==a[sa[rk[i]-1]+h[i]]) {h[i]++;}
}
for(int i=1; i<=n; i++) height[i] = h[sa[i]];
for(int i=1; i<=n; i++) st[0][i] = height[i];
for(int j=1; j<lgN; j++)
{
for(int i=1; i+(1<<j)-1<=n; i++) {st[j][i] = min(st[j-1][i],st[j-1][i+(1<<j-1)]);}
}
}
int querymin(int l,int r)
{
int g = lg2[r-l+1]; int *adr = st[g];
return min(adr[l],adr[r-(1<<g)+1]);
}
int LCP(int x,int y)
{
if(x==y) return n-x+1; if(rk[x]>rk[y]) swap(x,y);
return querymin(rk[x]+1,rk[y]);
}
}
using SA::buildSA;
using SA::LCP;2.2. 扩展KMP
描述:
求出一个串的每个后缀与整个串的LCP. 与Manacher算法极其类似，时间复杂度\(O(n)\).
z[i]: 后缀\(i\)与母串的LCP长度。
代码:
void Z_box()
{
int mx = 0,mxid = 0; z[1] = m;
for(int i=2; i<=m; i++)
{
if(a[i]!=a[1]) {z[i] = 0;}
else if(i>mx) {z[i] = 1;}
else {z[i] = min(z[i-mxid+1],mx-i+1);}
while(i+z[i]<=m && a[i+z[i]]==a[z[i]+1]) {z[i]++;}
if(i+z[i]-1>mx) {mx = i+z[i]-1; mxid = i;}
}
}2.3. Manacher算法
描述:
求出以每个位置为中心的最长回文子串，时间复杂度\(O(n)\).
注意事项:
(1) 不要把\(2n+1\)写成\(n\).
代码:
void manacher()
{
for(int i=n; i>=1; i--) a[2*i] = a[i];
for(int i=1; i<=2*n+1; i+=2) a[i] = '#';
int mxid = 1,mx = 1; p[1] = 1;
for(int i=2; i<=2*n+1; i++)
{
if(i>mx) {p[i] = 1;}
else {p[i] = min(p[2*mxid-i],mx-i+1);}
while(i-p[i]>0 && i+p[i]<=2*n+1 && a[i+p[i]]==a[i-p[i]]) {p[i]++;}
if(i+p[i]-1>mx) {mx = i+p[i]-1; mxid = i;}
}
}2.4. 后缀自动机
描述:
增量法构造后缀自动机，时间复杂度\(O(n)\).
注意广义后缀自动机必须对Trie树进行BFS建立才能保证复杂度为节点数，否则复杂度退化为所有叶子节点总深度。
注意事项:
(1) 不要忘记初始化三个变量。
代码:
void init()
{
siz = lstpos = rtn = 1;
}
void insertchar(char ch)
{
int p = lstpos,np; siz++; np = lstpos = siz; len[np] = len[p]+1; sz[np]++;
for(; p && son[p][ch]==0; p=fa[p]) {son[p][ch] = np;}
if(p==0) {fa[np] = rtn;}
else
{
int q = son[p][ch];
if(len[q]==len[p]+1) {fa[np] = q;}
else
{
siz++; int nq = siz; len[nq] = len[p]+1;
memcpy(son[nq],son[q],sizeof(son[q]));
fa[nq] = fa[q]; fa[q] = fa[np] = nq;
for(; p && son[p][ch]==q; p=fa[p]) {son[p][ch] = nq;}
}
}
}2.5. 回文自动机
描述:
一个字符串本质不同的回文子串个数不超过\(n\). 回文自动机上一个节点代表一个回文子串。
增量法构造回文自动机，时间复杂度\(O(n)\).
代码:
void initPAM()
{
siz = 1; fail[0] = fail[1] = 1; len[0] = 0; len[1] = -1; lstpos = 1;
}
void insertchar(int id)
{
int p = lstpos;
while(a[id-1-len[p]]!=a[id]) {p = fail[p];}
if(!son[p][a[id]])
{
siz++; int u = siz,v = fail[p];
while(a[id-1-len[v]]!=a[id]) {v = fail[v];}
fail[u] = son[v][a[id]]; len[u] = len[p]+2; son[p][a[id]] = u;
}
lstpos = son[p][a[id]];
}2.6. Lyndon分解
描述:
若一个串的最小循环表示为它本身，则称作Lyndon串。
将一个串划分为若干Lyndon串，称作Lyndon划分。一个串的Lyndon划分方案唯一。
Lyndon划分的Duval算法，时间复杂度\(O(n)\).
代码:
暂无
2.7. 最小循环表示
暂无
3. 图论
3.1. Tarjan算法
3.1.1. 强连通分量
描述:
Tarjan求有向图的强连通分量。构建DFS树，统计每个点的DFS时间戳(dfn[u])以及其所到达的时间戳最小的点(low[u]), 若后者为该点本身，则求出一个极大强连通分量。时间复杂度\(O(n+m)\).
注意事项:
注意要从每个未遍历的点出发进行遍历。
代码:
void tarjan(int u)
{
cnt++; dfn[u] = cnt; low[u] = cnt; ins[u] = true;
tp++; sta[tp] = u;
for(int i=fe0[u]; i; i=e0[i].nxt)
{
if(!dfn[e0[i].v]) {tarjan(e0[i].v); low[u] = min(low[u],low[e0[i].v]);}
else if(ins[e0[i].v]) low[u] = min(low[u],dfn[e0[i].v]);
}
if(low[u]==dfn[u])
{
num++; ca[num] = a[u];
while(sta[tp]!=u)
{
ins[sta[tp]] = false;
clr[sta[tp]] = num;
ca[num] += a[sta[tp]];
tp--;
}
ins[u] = false; clr[u] = num; tp--;
}
}3.1.2. 点双连通分量
描述:
Tarjan算法求无向图的点双连通分量。构建DFS树，low[u]的定义改为该点经过至多一条非树边到达的最小的时间戳，若某个点\(u\)存在至少一个儿子\(v\)满足\(low[v]\ge dfn[u]\), 则\(u\)是割点。时间复杂度\(O(n+m)\).
点双连通分量一定是边双连通分量，割边的两个端点一定是割点。
代码:
(建圆方树)
namespace Graph
{
const int N = 1e6;
const int M = 4e6;
struct Edge
{
int v,nxt;
} e[(M<<1)+3];
int fe[N+3];
int fa[N+3];
int dfn[N+3],low[N+3],stk[N+3];
int n,en,cnt,tp;
void addedge(int u,int v)
{
en++; e[en].v = v;
e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en;
}
void Tarjan(int u)
{
cnt++; dfn[u] = low[u] = cnt;
tp++; stk[tp] = u;
for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt)
{
int v = e[i].v;
if(v==fa[u]) continue;
if(!dfn[v])
{
fa[v] = u; Tarjan(v);
low[u] = min(low[u],low[v]);
if(low[v]>=dfn[u])
{
Tree::n++; Tree::addedge(u,Tree::n); Tree::addedge(Tree::n,u);
while(tp>0)
{
Tree::addedge(Tree::n,stk[tp]);
Tree::addedge(stk[tp],Tree::n);
tp--;
if(stk[tp+1]==v) {break;}
}
}
}
else {low[u] = min(low[u],dfn[v]);}
}
}
void buildTree()
{
Tree::n = n;
for(int i=1; i<=n; i++) Tree::a[i] = 1;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(!dfn[i]) {Tarjan(i);}
}
}
}3.1.3. 边双连通分量
描述:
把点双连通分量的\(\ge\)改成\(\gt\)即可。
代码:
略。
3.2. 欧拉回路
3.2.1. 无向图欧拉回路
描述:
若无向图连通且度数为奇数的点个数不超过\(2\), 则存在欧拉回路。DFS时记录回溯的路径，即可构造出一条欧拉回路，时间复杂度\(O(m)\).
注意事项:
(1) 一定要使用自杀式遍历，否则时间复杂度退化为平方级。
代码:
namespace Undirected
{
struct Edge{int v,nxt;} e[M+2];
int fe[N+2];
int dgr[N+2];
int ans[(N<<1)+2];
bool vis[M+2];
int n,m,en,tp;
void addedge(int u,int v)
{
en++; e[en].v = v;
e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en;
dgr[u]++;
}
void dfs(int u)
{
for(int i=fe[u]; i; i=fe[u])
{
fe[u] = e[i].nxt;
if(vis[(i+1)>>1]) continue;
vis[(i+1)>>1] = true;
dfs(e[i].v);
tp++; ans[tp] = (i&1) ? ((i+1)>>1) : -((i+1)>>1);
}
}
void solve()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=m; i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);addedge(x,y);addedge(y,x);}
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(dgr[i]&1){printf("NO");return;}
}
tp = 0; dfs(e[1].v);
if(tp<m) {printf("NO"); return;}
printf("YES\n");
for(int i=tp; i>=1; i--)
{
printf("%d ",ans[i]);
}
}
}3.2.2. 有向图欧拉回路
描述:
有向图中每个点入度等于出度是存在欧拉回路的必要条件。依然可以通过记录回溯路径的方法构造欧拉回路。时间复杂度\(O(m)\).
代码:
namespace Directed
{
struct Edge{int v,nxt;} e[M+2];
int fe[N+2];
int ind[N+2];
int oud[N+2];
int ans[(N<<1)+2];
bool vis[M+2];
int n,m,en,tp;
void addedge(int u,int v)
{
en++; e[en].v = v;
e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en;
oud[u]++; ind[v]++;
}
void dfs(int u)
{
for(int i=fe[u]; i; i=fe[u])
{
fe[u] = e[i].nxt;
if(vis[i]) continue;
vis[i] = true;
dfs(e[i].v);
tp++; ans[tp] = i;
}
}
void solve()
{
scanf("%d%d",&n,&m); tp = 0;
for(int i=1; i<=m; i++)
{
int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
addedge(x,y);
}
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(ind[i]!=oud[i]) {printf("NO"); return;}
}
dfs(e[1].v);
if(tp<m) {printf("NO"); return;}
printf("YES\n");
for(int i=tp; i>=1; i--) printf("%d ",ans[i]);
}
}4. 数论
4.1. 扩展欧几里得算法
描述:
求解不定方程\(ax+by=\gcd(a,b)\). 时间复杂度\(O(\log(a+b))\).
代码:
llong exgcd(llong a,llong b,llong &x,llong &y)
{
if(b==0) {x = 1,y = 0; return x;}
llong nx,ny; llong ret = exgcd(b,a%b,nx,ny);
x = ny; y = nx-a/b*ny;
return ret;
}4.2. 扩展中国剩余定理
描述:
求解同余方程组，模数可以不互质。具体做法是将模数不互质的方程进行合并。
代码:
暂无
4.3. 扩展BSGS
暂无
4.4. 二次剩余之Cipolla算法
暂无
5. 多项式
暂无