注：该学习笔记参考了lxh daolao的课件和网上其他大佬的博客（然后加上了蒟蒻的yy），在此表示深深的感激！
基本上只是整理了一下框架，具体的学习给出了个人认为比较好的博客的链接。
PART1 数论部分
最大公约数
对于正整数x,y,最大的能同时整除它们的数称为最大公约数
常用的：\(lcm(x,y)=xy\gcd(x,y)\)
裴蜀定理
定理：对于方程\(ax+by=c\)，其存在解的充要条件是\(gcd(a,b)|c\)，可以拓展到n元的方程。
证明的话应该自己yy一下还是很容易（显然可得），不过要是想要严谨证明还是去百度吧qwq
扩展欧几里得定理
首先我们都知道\(gcd(a,b)=gcd(b,a \%b)\)吧。
我们在辗转相除的同时可以递归地求出\(ax+by=gcd(a,b)\)的解。当递归到b=0的时候，显然有解\(x=1,y=0\)。如果b!=0，我们可以递归的求出\(bx'+(a\%b)y'=gcd(a,b)\)的解。
\[bx'+(a\%b)y'=bx'+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor\times b)y'=ay'+b(x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y') \]
所以\(x=x',y=(x'- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y')\)
时间复杂度：O(log n)
逆元
定义：
若有\(xy=1\pmod p\)，则称y为x模p意义下的乘法逆元
计算方法：
转换为方程：\(xy-kp=1\)，用拓展欧几里得算法就可以了。当然费马小定理也可以，只不过时间复杂度上稍微逊色一些。（还有一种线性的，不过我不会）
补充：费马小定理：若p为质数，对于任意\(1<=a<p,a^{p-1}\equiv 1 \pmod p\),那么在p为质数的时候\(a^{p-2}就是a的逆元\)
积性函数
对于任意互质整数a,b，存在\(f(ab)=f(a)f(b)\)性质的数论函数。
完全积性函数则是没有互质的限制。
常见的积性函数举例：
- φ(n) －欧拉函数
- μ(n) －莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目
- gcd(n,k) －最大公因子，当k固定的情况
- d(n) －n的正因子数目
- σ(n) －n的所有正因子之和
欧拉函数
定义：\(\phi(n)\)定义为1-n内与n互质的数的个数
\(\phi(x)=x\prod_1^n(1- \frac{1}{p_i})，其中x是正整数，\)p_i\(是x的质因数。 这个的计算程序十分好写。 特别的，欧拉函数是积性函数，即\)\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$。
证明比较显然。
欧拉筛（线性筛）
在埃氏筛法的基础上，让每个合数只被它的最小质因子筛选一次，以达到不重复的目的。
代码直接去看模板吧，没什么好说的。
欧拉定理&扩展欧拉定理
若\(a,m\)互质，则有\[a^{\phi(m)}\equiv1\pmod m\]
若\(a,m\)不互质，当\[b\ge\phi(m)的时候，a^b\equiv a^{b\%\phi(m)+\phi(m)}\pmod m\]
注意如果\(b<\phi(m)\)的时候，上式不一定成立。
证明请看这篇博客 戳我
什么时候休闲娱乐的话我会写一份自己的证明的（咕咕咕qwqwq）
Miller-Rabin素性测试
因为当p为质数且\(1<=a<p\)时，\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)（欧拉定理）
那么当\(1\le a<p\)且\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)时，p是否一定是质数呢？
当然不是啦！但是我们发现大部分合数都不满足这个性质。
所以我们的素数判定算法出世啦！随机几个a，判断\(a^{p-1}\mod p\)是否为1——不过这个正确性有点玄学，因为有些合数对任意的a的也都满足这个性质emmmmm，所以需要对算法进行改进。
这样就引出了我们的二次探测定理——
对于任意质数p，如果\(x^2\equiv1\pmod p\),那么我们有\(x\equiv\pm1\pmod p\)。
证明：由\(x^2 \equiv1\pmod p\)，可以知道\((x+1)(x-1)\equiv0\pmod p\)。那么\((x+1)和(x-1）\)之中必定有至少一个是p的倍数。又由于p是质数，所以得证。
那么我们就知道怎么做了，在判定素数的时候如果指数p-1是偶数，我们可以继续判断\(a^{\frac{p-1}{2}}\)——如果\(a\equiv\pm 1\pmod p\)的条件不满足，可以直接判断此数为合数。如果\(a\equiv -1\pmod p\)，就不继续判断，如果\(a\equiv 1\pmod p\)，我们不能判断这个数是不是素数，就要继续判断\(a^{\frac{p-1}{2}}\)了。
所以我们把p-1的2的次幂分解出来，求出所有的\(a^{}\frac{p-1}{2^i}\)逐一检查。
算法时间复杂度是log的。
加上这个玄学改进，如果我们随机的a够多，几乎就卡不掉了。随机k个判断错误的概率仅有\(\frac{1}{4^k}\)。
Pollard-Rho大整数质因数分解算法
听说没有什么大用qwq？？？蒟蒻选择战略性放弃
中国剩余定理(CRT)
exCRT
BSGS
求解同余方程：\(a^x \equiv b (mod p)\)
\(0<=a,b<p<=1e9\)，p为质数5
BSGS
拓展BSGS
斐波那契数列循环节
原根
阶的定义：
设a，p是整数，a和p互素，那么：
使\(a^n\equiv1\pmod p\)成立的最小正整数n叫做a模p的阶。
原根的定义：
原根，是一个数学符号。设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于\(\phi\)(m)，则称a为模m的一个原根。
原根的性质：
- 对于正整数x，只有\(x=2,4,p^a,2\times p^a\)，p为奇素数，a>=1的时候才存在原根。
- \(a^1,a^2,a^3,...,a^{\phi(m)}\)在模p的时候都不相同（可以推得它构成了一个长度为\(\phi(m)\)的循环节）
- 对于m的原根g，满足gi(mod p)（0<=i<=p-2）与1到p-1一一对应.
- 若m有原根，那么它的原根个数为\(\phi(\phi(m))\)。（具体证明蒟蒻不是特别会qwq，上课没听懂）
对于m的情况最为常用。在这种情况下,0~m-1中每一个数都可以对应一个\(a^x\)，这就相当于模意义下取对数（离散对数）。我们可以化乘为加。或者快速地计算一个数的若干次幂。
判断一个数a是不是m的原根
即判断是否不存在\(1<=x<\phi(m)\)。由于\(a^{\phi(m)}\equiv \pmod m\)，我们只需要判断x为\(\phi(m)\)的因数的情况就可以了，时间复杂度\(O(sqrt(m)log m)\)
实际上，对于\(\phi(m)\)的每种质因数p_i判断\(\frac{\phi(m)}{p_i}\)也是等价的。
求出原根后，用暴力或者BSGS就可以求出来一个数的对数。
ps.一个数的原根是很多的，我们可以从小到大判断，或者随机化选取数字判断。
二次剩余
PART2 组合数学部分
PART3 线性代数部分
向量
n维向量可以看成n个数组成的n元组（或者说n个元素的数组）
几何意义：表示n维空间中的方向和长度
矩阵
\(n\times m\)的矩阵相当于一个\(n\times m\)的二维数组
练习题
BZOJ3667 题解戳我
