[BZOJ 1013] [JSOI2008]球形空间产生器

[BZOJ 1013] [JSOI2008]球形空间产生器

题面

给出一个n维球体上的n+1个点，求球心坐标

分析

设球心坐标为\((x_1,x_2,\dots x_n)\),由于一个球体上的所有点到球心距离相等。那么

第\(i\)个方程为\[ \begin{equation} \sum_{j=0}^n (a_{i,j}-x_j)^2=C^2 \tag{i} \end{equation}\]

其中\(C\)为距离,\(a_{i,j}\)为点的坐标.我们对相邻两个方程做差,消去\(x_j^2\)和\(C\). \((i)-(i+1)\)得

\[\begin{equation}\sum_{j=1}^n (a_{i,j}^2-a_{i+1,j}^2-2x_j(a_{i,j}-a_{i+1,j})) =0 \\ 2(a_{i,j}-a_{i+1,j})x_j =\sum_{j=1}^n (a_{i,j}^2-a_{i+1,j}^2)\end{equation}\]

直接高斯消元即可.

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 10 
using namespace std;
int n;
double a[maxn+5][maxn+5]; 
double mat[maxn+5][maxn+5];
void gauss(int n,int m){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int id=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            if(mat[j][i]>mat[id][i]) id=j;
        }
        for(int k=1;k<=m;k++) swap(mat[i][k],mat[id][k]);
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(j==i) continue;
            double r=mat[j][i]/mat[i][i];
            for(int k=1;k<=m;k++) mat[j][k]-=mat[i][k]*r;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        mat[i][m]/=mat[i][i];
    }
} 

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n+1;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%lf",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            mat[i][j]=2*(a[i][j]-a[i+1][j]); 
            mat[i][n+1]+=a[i][j]*a[i][j]-a[i+1][j]*a[i+1][j];
        }
    }
    gauss(n,n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        printf("%.3f ",mat[i][n+1]);
    }
}