BZOJ1013 || 洛谷P4035 [JSOI2008]球形空间产生器【高斯消元】

Time Limit: 1 Sec
Memory Limit: 162 MB

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

HINT

　　提示：给出两个定义：1、球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

题目分析

设球心坐标为 $(x_1,x_2,...,x_{n-1},x_n)$
因为球面上各点到球心距离相等(设为R)
所以对于每个 $i\in [1,n+1]，i\in Z$
都有 $\sum_{j=1}^n(a_{i,j}-x_j)^2=R$
这样我们就列出了一个由n+1个n元2次方程组成的方程组

为了得到一个线性方程组，我们要消去R和所有二次项
尝试将上述相邻的两个n元2次方程作差得
$\sum_{j=1}^n(a_{i,j}-x_j)^2-(a_{i+1,j}-x_j)^2=0$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \downarrow$
$\sum_{j=1}^n(a_{i,j}^2-2a_{i,j}x_j+x_j^2)-(a_{i+1,j}^2-2a_{i+1,j}x_j+x_j^2)=0$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \downarrow$
$\sum_{j=1}^n(a_{i,j}^2-a_{i+1,j}^2-2x_j(a_{i,j}-a_{i+1,j}))=0$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \downarrow$
$\sum_{j=1}^n2(a_{i,j}-a_{i+1,j})x_j=\sum_{j=1}^n(a_{i,j}^2-a_{i+1,j}^2)$
到这里就得到了一个线性方程组，可以用高斯消元求解了

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef double dd;

int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=15;
int n;
dd a[maxn][maxn],b[maxn][maxn];
dd ans[maxn];

void gauss()
{
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        int r=i;
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
        if(fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i])) r=j;
        if(r!=i) swap(a[i],a[r]);

        dd f=a[i][i];
        for(int j=i;j<=n+1;++j) a[i][j]/=f;
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
        {
            f=a[j][i];
            for(int k=i;k<=n+1;++k)
            a[j][k]-=a[i][k]*f;
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;--i)
    {
        ans[i]=a[i][n+1];
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
        ans[i]-=a[i][j]*ans[j];
    }
}

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n+1;++i)
    for(int j=1;j<=n;++j)
    scanf("%lf",&b[i][j]);

    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=n;++j)
    {
        a[i][j]=2*(b[i][j]-b[i+1][j]);
        a[i][n+1]+=b[i][j]*b[i][j]-b[i+1][j]*b[i+1][j];
    }

    gauss();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    printf("%.3lf ",ans[i]);
    return 0;
}