BZOJ 1013: [JSOI2008]球形空间产生器

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

思路：一个球所有的点到球心的距离相等，所以可以求出一个点(x1,x2...xn)使得

其中c就是到圆心的距离。消去常量c并且整理后变成

然后就可以把变量放左边，常量放右边，高斯消元了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long;
const int maxn = 1e6 + 19;
int n;
double a[20][20], b[20], c[20][20];
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n + 1; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            scanf("%lf", &a[i][j]);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            c[i][j] = 2 * (a[i][j] - a[i + 1][j]);
            b[i] += a[i][j] * a[i][j] - a[i + 1][j] * a[i + 1][j];
        }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {//高斯消元
        //找到x的系数不为0的一个方程
        for(int j = i; j <= n; j++)
            if(fabs(c[i][j]) > 1e-6) {
                for(int k = 1; k <= n; k++)
                    swap(c[i][k], c[j][k]);
                swap(b[i], b[j]);
            }
        //消去x的系数
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            if(i != j) {
                double rate = c[j][i] / c[i][i];
                for(int k = i; k <= n; k++)
                    c[j][k] -= c[i][k] * rate;
                b[j] -= b[i] * rate;
            }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%.3f ", b[i] / c[i][i]);
    return 0;
}