BZOJ1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

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Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

0.0 0.0

-1.0 1.0

1.0 0.0
Sample Output

0.500 1.500
HINT

　　提示：给出两个定义：1、球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、距离：设两个n为空间上的点A, B

的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 +

… + (an-bn)^2 )

题解：
高斯消元。
设二维坐标下圆心的坐标为(x,y),半径为R；
已知(a,b),(a1,b1)和(a2,b2)在圆上则有：
（x-a)^2+(y-b)^2=R^2 —————>x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=R^2
（x-a1)^2+(y-b1)^2=R^2 ————>x^2-2a1x+a1^2+y^2-2b1y+b1^2=R^2
两式相减则有：2(a1-a)x+2(b1-b)y=a1^2-a^2+b1^2-b^2
所以可以直接增广矩阵高斯消元来求解n维坐标下球心的坐标
题目确保有解给出n+1个n维坐标下球心上的坐标
则可以写成n个线性方程组并且有n个自由基

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const int N=10+11;
double a[N][N],f[N];
int n;
#define eps 1e-6
double squ(double x)
{
    return x*x;
}
bool gauss()
{
    int now=1,to;double t;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(to=now;to<=n;to++)if(fabs(a[to][i])>eps)break;
        if(to>n)continue;
        if(to!=now)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        swap(a[to][i],a[now][j]);
        t=a[now][i];
        for(int j=1;j<=n+1;j++)a[now][j]/=t;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        if(j!=now)
        {
            t=a[j][i];
            for(int k=1;k<=n+1;k++)
                a[j][k]-=t*a[now][k];
        }
        now++;
    }
    for(int i=now;i<=n;i++)
    if(fabs(a[i][n+1])>eps)return 0;
    return 1;
}
int main()
{
    double x;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&f[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%lf",&x);
            a[i][j]=2*(x-f[j]);
            a[i][n+1]+=squ(x)-squ(f[j]);
        }
    }
    gauss();
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
        printf("%.3lf ",a[i][n+1]);
    printf("%.3lf\n",a[n][n+1]);
    return 0;
}

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