送货问题
摘要
本文主要讨论的是送货问题，根据各公司对材料的需求和运输路线图，建立了线性规划模型，对货运公司的出车安排进行了分析和优化，得出运费最小的调度方案。
问题一中每辆车从港口出发，运输途中不能掉头，为使运输费用最小，要使在一定的车辆数下，既满足各公司的需求，又要尽量减小出车次数。故以最小出车数为目标函数，建立线性规划模型。通过工具可以得出最小的出车次数为27次。又因为运输方向不定，出车方向可为顺时针和逆时针方向，通过解出的装车方式，得出结果。
问题二每辆车从港口出发，允许运输途中掉头，类似于问题一的求解方法，只需要满足空车的的运输路程最短。
问题重述
符号说明
X1:一车装1单位的A材料，2单位的C材料
X2:一车装6单位的C材料
X3:一车装2单位的B材料
X4:一车装1单位的B材料，3单位的C材料
X5：一车装1单位的A材料，1单位的C材料
X6:一车装1单位的A材料
S:最小运输次数
P：为0时顺时针运输，为1时逆时针运输
Xij：第i次运输材料j的单位数
Yij：第i次运输j到达目的地所走的路程
a：各公司对A的总需求量
b：各公司对B的总需求量
c：各公司对C的总需求量
模型假设
- 每次装载时发挥最大装载能力
- 每天每辆车可以达到最大的作业时间
- 在人力和运输费用最少时，考虑最少运输费用
问题分析
本题要求从一个港口向八个地点发货，每辆车日工作时间不超过8小时，运输车的平均速度为60公里每小时，一共有6辆车从港口出发，中途不得掉头，每辆车需要15分钟的装车时间和到每个公司10的卸货时间。
问题一假设一辆车在全程只装一次，也只卸一次，即用时最短，会花上85分钟，又因为一辆车工作时间不能超过8h，故一辆车最多跑5次，六辆车共跑30次，通过公式与工具运算可以得出最少需要运送27次，其中需要9次装2单位的B，8次装1单位的A和2单位的 C，10次装1单位的A和一单位的C。
问题二可以类比与问题一，解题思路一致，要求最小成本，合理安排好运输次序，先卸小件再卸大件，并保证空车的路程最短，即可实现。
模型建立
总共有6辆车，若一辆车在全程只装1次车，只卸一次车，那么它所花费的时间最少，即会花85分钟，而一辆车的工作时间不能超过8h，所以一辆车最多能跑5趟，六辆车总共能跑30趟，而每俩车每次只能运6吨的货物，所以每辆车可能运输1单位的A和2单位的C（X1），6单位的C(X2),2单位的B(X3),1单位的B和3单位的C（X4）
所以s(min)=X1+X2+X3+X4
X1=18
2*X3+X4=18
2*X1+6*X2+3*X4>=26
此时的模型会导致多运输C，所以可以是后来每辆车不装满，即每辆车运输1单位的A和一单位的C（X5），一单位的A（X6）
所以s(min)= X1+X2+X3+X4+X5+X6
X1+X5+X6=18
2*X=3+X4=18
2*X1+3*X4+6*X2+X5=26
X1+X2+X3+X4+X5+X6<=30
模型建立：
若设Xi1为第i次运输材料A的单位数；Xi2为第i次运输材料B的单位数;Xi3为第i次运输材料C的单位数，Yi1为第i次运输A到达目的地所走的路程；Yi2为第i次运输B到达目的地所走的路程；Yi3为第i次运输C到达目的地所走的路程，Zij为第i次运输j到达目的地的单位成本。建立最小运费的模型：
Mi=1mj=1n
ZijXijYij
每辆车的容量：
4Xi1+3Xi2+Xi3<=6
各公司对A，B，C的总需求：
i=1mXi1
=a
i=1mXi2
=b
i=1mXi3
=c
问题一模型建立
满足条件后最少需要运输27次，其中需要9次装2单位的B，8次装1单位的A和2单位的 C，10次装1单位的A和一单位的C。
装9次2单位的B，按照奇偶数的进行分配。其中可以按顺时针方向向②地运输2车2单位的的B，然后逆时针向⑧地运输1车2单位的的B，向⑦地运输1车2单位的B，向⑥地运输2车2单位的B，向⑤地运输1车的2单位的B，然后顺时针分别向①地运输1单位的B，向②地运输1单位的B，逆时针向⑧地运输1单位的B，向④地运输1单位的B（具体表述如下表）
（0代表从顺时针方向开始出发，1代表从逆时针方向开始出发）
| 方向 |
|
① 1 |
② 5 |
③0 |
④ 1 |
⑤ 2 |
⑥ 4 |
⑦ 2 |
⑧ 3 |
| 0 |
① 1 |
(1*2B)/2 |
(1*2B)/2 |
|
|
|
|
|
|
| 0 |
② 5 |
|
2*2B |
|
|
|
|
|
|
|
|
③ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 |
④ 1 |
|
|
|
(1*2B)/2 |
|
|
|
(1*2B)/2 |
| 1 |
⑤ 2 |
|
|
|
|
1*2B |
|
|
|
| 1 |
⑥ 4 |
|
|
|
|
|
2*2B |
|
|
| 1 |
⑦ 2 |
|
|
|
|
|
|
1*2B |
|
| 1 |
⑧ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
1*2B |
| 载重总运费 |
86.4 |
361.8 |
|
140.4 |
248.4 |
324 |
118.8 |
108 |
|
载货时的运费=86.4+405+167.4+248.4+324+118.8+108=1383.3
运输车为空车的运费=(45*3+55+49+45*2+37+29)*0.4=158
总运费=1383.3+158=1541.3
| 方向 |
|
① 4 5 |
② 1 2 |
③ 2 4 |
④ 3 2 |
⑤ 1 4 |
⑥ 0 3 |
⑦ 2 5 |
⑧ 5 1 |
总运费 |
时间 |
| 0 |
1A2C |
(1,2) |
|
|
|
|
|
|
|
107.2 |
|
| 0 |
1A2C |
|
(1,2) |
|
|
|
|
|
|
180 |
|
| 0 |
1A2C |
|
|
(1,2) |
|
|
|
|
|
273.6 |
|
| 0 |
1A2C |
|
|
(1,2) |
|
|
|
|
|
273.6 |
|
| 1 |
1A2C |
|
|
|
|
|
|
(1,2) |
|
138.4 |
|
| 1 |
1A2C |
|
|
|
|
|
|
(1,2) |
|
138.4 |
|
| 1 |
1A2C |
|
|
|
|
(1,0) |
(0,1) |
(0,1) |
|
227.2 |
|
| 1 |
1A2C |
|
|
|
(1,0) |
|
(0,2) |
|
|
288.8 |
|
| 0 |
1A1C |
(1,1) |
|
|
|
|
|
|
|
94 |
|
| 0 |
1A1C |
(1,1) |
|
|
|
|
|
|
|
94 |
|
| 0 |
1A1C |
(1,1) |
|
|
|
|
|
|
|
94 |
|
| 1 |
1A1C |
|
|
|
(1,0) |
(0,1) |
|
|
|
276.2 |
|
| 1 |
1A1C |
|
|
|
(1,0) |
(0,1) |
|
|
|
276.2 |
|
| 0 |
1A1C |
|
|
|
(0,1) |
|
|
|
(1,0) |
450.2 |
|
| 0 |
1A1C |
|
|
|
(0,1) |
|
|
|
(1,0) |
450.2 |
|
| 0 |
1A1C |
|
|
|
|
(0,1) |
|
|
(1,0) |
464.6 |
|
| 0 |
1A1C |
|
|
|
|
(0,1) |
|
|
(1,0) |
464.6 |
|
| 1 |
1A1C |
|
|
|
|
|
|
|
(1,1) |
67 |
|
运输A和C 的总费用=4358.2
所以 运输A,B,C的全部费用=4358.2+1541.3+120+270=6289.5
问题二模型建立
因为运输过程中运输车可以掉头，因此只需要求空车时路程最短，具体模型如下：
（0代表从顺时针方向开始出发，1代表从逆时针方向开始出发）
| 方向 |
|
① 1 |
② 5 |
③0 |
④ 1 |
⑤ 2 |
⑥ 4 |
⑦ 2 |
⑧ 3 |
| 0 |
① 1 |
(1*2B)/2 |
(1*2B)/2 |
|
|
|
|
|
|
| 0 |
② 5 |
|
2*2B |
|
|
|
|
|
|
|
|
③ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 |
④ 1 |
|
|
|
(1*2B)/2 |
|
|
|
(1*2B)/2 |
| 1 |
⑤ 2 |
|
|
|
|
1*2B |
|
|
|
| 1 |
⑥ 4 |
|
|
|
|
|
2*2B |
|
|
| 1 |
⑦ 2 |
|
|
|
|
|
|
1*2B |
|
| 1 |
⑧ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
1*2B |
| 载重总运费 |
86.4 |
405 |
|
167.4 |
248.4 |
324 |
118.8 |
108 |
|
载货时的运费=86.4+405+167.4+248.4+324+118.8+108=1383.3
运输车为空车的运费=(15*3+5+11+15*2+23+29)*0.4=57.2
总运费=1383.3+57.2=1440.5
| 方向 |
|
① 4 5 |
② 1 2 |
③ 2 4 |
④ 3 2 |
⑤ 1 4 |
⑥ 0 3 |
⑦ 2 5 |
⑧ 5 1 |
总运费 |
时间 |
| 0 |
1A2C |
(1,2) |
|
|
|
|
|
|
|
89.6 |
|
| 0 |
1A2C |
|
(1,2) |
|
|
|
|
|
|
168 |
|
| 0 |
1A2C |
|
|
(1,2) |
|
|
|
|
|
268.8 |
|
| 0 |
1A2C |
|
|
(1,2) |
|
|
|
|
|
268.8 |
|
| 1 |
1A2C |
|
|
|
|
|
|
(1,2) |
|
123.2 |
|
| 1 |
1A2C |
|
|
|
|
|
|
(1,2) |
|
123.2 |
|
| 1 |
1A2C |
|
|
|
|
|
|
(0,1) |
(1,1) |
153.2 |
|
| 1 |
1A2C |
|
|
|
|
(1,2) |
|
|
|
257.6 |
|
| 0 |
1A1C |
(1,1) |
|
|
|
|
|
|
|
75.2 |
|
| 0 |
1A1C |
(1,1) |
|
|
|
|
|
|
|
75.2 |
|
| 0 |
1A1C |
(1,1) |
|
|
|
|
|
|
|
75.2 |
|
| 1 |
1A1C |
|
|
|
|
|
(0,1) |
|
(1,0) |
209 |
|
| 1 |
1A1C |
|
|
|
|
|
(0,1) |
|
(1,0) |
209 |
|
| 1 |
1A1C |
|
|
|
|
|
(0,1) |
|
(1,0) |
209 |
|
| 1 |
1A1C |
|
|
|
|
(0,1) |
|
|
(1,0) |
338.6 |
|
| 1 |
1A1C |
|
|
|
(1,0) |
(0,1) |
|
|
|
276.2 |
|
| 0 |
1A1C |
|
|
|
(1,1) |
|
|
|
|
272.6 |
|
| 0 |
1A1C |
|
|
|
(1,1) |
|
|
|
|
272.6 |
|
运输A和C 的总费用=3645
所以 运输A,B,C的全部费用=3645+1440.5+120+270=5475.5
模型的评价与修正
本题通过线性规划的优化求解方法，求出最少运输次数的模型，根据此模型合理安排车辆的运输情况，以使成本最少。运用此模型可以合理安排生活中的一些运输问题，可靠性和实践性较强，但模型中的一些假设虽有理，但与实际生活还有一些差距，应该在实际应用时，做出其他的预案。