ELI5：导数，偏导数

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导数

导数就是描述某个事物的变化速率。
举个最常见的例子，当人从某地移动到另一地点的时候，速度就是这个移动的导数，因为它描述了移动的变化速率；再继续看，加速度就是速度的导数，因为加速度描述了速度的变化速率。当加速度恒定的时候，我们可以想到，速度就是一条斜线，再进一步就能想到移动的距离是一个抛物线。

距离曲线

速度曲线

在数学中，先举一个简单的例子，比如

$$y = 3x + 5$$ 这个函数，它的导数是 $$y\prime = 3$$ （具体求导的方法不描述了），它描述了当x变化的时候，y的变化是3，可以试验一下，当x=1的时候，y=8，当x=2的时候，y=11，刚好增加了3。
稍微复杂一点的情况比如 $y = x ^ 2$ 的导数是 $y\prime = 2x$，这个时候导数不再是常数，比之前的情况要稍微复杂一点，需要进行一定的理解：

x	$$y = x ^ 2$$	$$y\prime = 2x$$
1	1	2
2	4	4
3	9	6

可以看到并不是之前那样的直接相关了，这是因为此时的导数应该是个变化过程（也就是$\Delta X$，x=2时导数的值，是指在x=2这个点上的变化速率，不是指变化到2过程中的变化速率），所以当x变化为2时，是x从1到2的过程，导数应该是求值应该是1到2的过程值（因为是这时的函数是线性的，所以粗暴的认为是均值）$(2 + 4)/2 = 3$，所以变化速率是3，同理可知2->3的变化速率是5。

偏导数

既然知道了导数的概念，那么偏导数是用来做什么的呢？
继续最开始跑步的例子，当时我们假设了一个完美的场景，那就是在没有任何其他因素的影响下。但是现实中是不可能出现这样的情况的，你的移动需要根据当时风速，穿的鞋子带来的阻力，你当时的体力等等，也许这是一个类似这样的函数

$$F = f(x,y,z,u,v)= x^2 + 5y + 4z^3 + 2uv$$ ，但我们仅仅想研究跑步速度带来的影响，所以我们假设其他的变量都是常数，也就是他们是恒定的或者是一些我们已知的数据，此时再来求导时导数就变为了 $F_x^\prime = 2x$，这就称为 $F$ 在 $(y,z,u,y)$ 处时关于 $x$ 的偏导数