两周前去学nim和sg函数，但是，又又又忘了QAQ
一，nim游戏
0，对nim游戏的定义是：两人，有若干堆石子，每堆石子数量是有限的（a1,a2,...,an），合法的移动时候：选择一堆石子并拿走若干颗（可以全拿，不能不拿）。如果轮到某人时，已无子可取，则为败，另一人为胜。
1，设P-position为先手必败(当前态为必败态)/后手可保证必胜；
2，设N-position先手可保证必胜(当前态为必胜态)；
3，设游戏中无法进行任何移动的局面（terminal position）为P-position；
4，可以移动到P-position的局面是N-position（性质）；
5，所有移动都导致N-position的局面是P-position（性质）；
6，对nim有结论：对于一个nim游戏的局面（a1,a2,...,an），它是P-position当且仅当a1^a2^...^an==0（即，a1^a2^...^an!=0 为N-position）；
7，判断6的正确性：
（1），对于terminal position，a1=a2=...=an=0，有a1^a2^...^an=0，而对于定义terminal potion为P-position，成立。
（2），假设6成立，则需满足N-position一定能移动到P-position（第4点），
N-position为 a1^a2^...^an!=0 ，设 a1^a2^...^an!=k （k!=0），则一定存在某个ai，它的二进制表示的最高位1为k而进制表示的最高位1，在这时，当前 将ai（通过取石子）的值，变换为ai`=ai^k，则有：a1^a2^...^an^k=k^k=0，在假设6成立下性质满足。
（3），假设6成立，则需满足P-position一定无法使下一个状态为P-position（第5点），
P-position为 a1^a2^...^ai^...^an==0 ，则，显然 a1^a2^...^ai`^...^an!=0（ai`<ai）。
所以6的正确性显然。
8，进一步，假设nim游戏有：每次最多只能取k个，的限制，则：将每堆石子数mod(k+1)；。
9，SG函数：Sprague-Grundy函数：详见这个博客
首先定义mex（局外最小序数）运算，对于一个集合S，mex(S)为，不是S的元素的最小一个序数（非负）。如：mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。
对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }。
且定义：（1）叶子节点（terminal potsition）的SG值为0。
则有：（2）对于一个g(x)==0的顶点x，它的所有后继y都满足g(y)!=0。
（3）对于一个g(x)!=0的顶点x，它必有一个后继y满足g(y)==0。
则，由上面3点，可知，顶点x所代表的position为P-position当且仅当g(x)==0（即，g(x)!=0为N-position）
详见博客= =
当面对由n个游戏组合成的一个游戏时，只需对于每个游戏找出它每个局面的SG值的方法，就可以把SG值全部看出nim的石子堆，再由nim的必胜策略判断必胜局面。
SG值根据mex函数确定，具体方法为打表orDFS。
10，原文链接：https://blog.csdn.net/strangedbly/article/details/51137432
解题模型：
（1）把原游戏分解成多个独立的子游戏，则原游戏的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。即sg(G)=sg(G1)^sg(G2)^...^sg(Gn)。
（2）分别考虑没一个子游戏，计算其SG值。
SG值的计算方法：（重点）
1，可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);
2，可选步数为任意步，SG(x) = x;
3，可选步数为一系列不连续的数，用模板计算。
模板1：打表
//f[]：可以取走的石子个数 //sg[]:0~n的SG函数值 //hash[]:mex{} int f[N],sg[N],hash[N]; void getSG(int n) { int i,j; memset(sg,0,sizeof(sg)); for(i=1;i<=n;i++) { memset(hash,0,sizeof(hash)); for(j=1;f[j]<=i;j++) hash[sg[i-f[j]]]=1; for(j=0;j<=n;j++) //求mes{}中未出现的最小的非负整数 { if(hash[j]==0) { sg[i]=j; break; } } } }
模板2：DFS
//注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍 //n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组 int s[110],sg[10010],n; int SG_dfs(int x) { int i; if(sg[x]!=-1) return sg[x]; bool vis[110]; memset(vis,0,sizeof(vis)); for(i=0;i<n;i++) { if(x>=s[i]) { SG_dfs(x-s[i]); vis[sg[x-s[i]]]=1; } } int e; for(i=0;;i++) if(!vis[i]) { e=i; break; } return sg[x]=e; }
二，威佐夫博弈
0，游戏：有两堆各若干的物品，两人轮流从其中一堆取至少一件物品，至多不限，或从两堆中同时取相同件物品，规定最后取完者胜利。
1，直接结论：
假设两堆石子为(x,y)(x,y)（其中x<yx<y）
那么先手必败，当且仅当：
(y-x)*(√5+1)/2==x
其中的\√5+1/2