洛谷$P5444\ [APIO2019]$奇怪装置 数论

正解:数论

解题报告:

传送门$QwQ$

我好像当初考的时候这题爆零了,,,部分分都没想到,,,我真的好菜$kk$

考虑如果在$t_1,t_2$两个时刻有$x_1=x_2,y_1=y_2$是什么情况$QwQ$?

那就有$\begin{cases}t_1+[\frac{t_1}{B}]\equiv t_2+[\frac{t_2}{B}](\mod A)\\t_1\equiv t_2(\mod B)\end{cases}$.

不妨设$t_2=t_1+B\cdot t$,代入得$t_1+[\frac{t_1}{B}]\equiv t_1+B\cdot k+[\frac{t_1+B\cdot k}{B}](\mod A)$,即$k(B+1)\equiv 0(\mod A)$

解得$\frac{A}{gcd(A,B+1)}|k$.即将$mod\ B$相等的提出来,发现每$\frac{A}{gcd(A,B+1)}$一循环.又因为$mod\ B$的结果有$B$个,所以总的循环节长度为$len=\frac{A\cdot B}{gcd(A,B+1)}$.

所以把$l,r$取模后变成若干条线段,然后现在询问$[0,len)$覆盖了多少个点.昂这个就差分下就行鸭,$over$