luogu #3144. 「APIO 2019」奇怪装置

背景：

暑假集训正式开始（丰山正式旷掉） $...$
话说假期只有 $10days$了，作业（呵呵）。

题目传送门：

https://loj.ac/problem/3144

题意：

给出 $n$个区间以及 $A,B$。现在你要在每一个区间中根据公式算出其点对（ $x=((t+\lfloor\frac{t}{B}\rfloor)) \mod A,y=(t \mod B)$）。现在你要求出不同点对的个数。

思路：

考虑算出 $x=((t+\lfloor\frac{t}{B}\rfloor)) \mod A,y=(t \mod B)$的循环节。

当 $t=0$时， $x=0,y=0$；
当 $t=k$时，假设此时 $x=0,y=0$（因为一定会出现循环，且当前是第一次循环，那么循环节就是 $k$），有 $x=((k+\lfloor\frac{k}{B}\rfloor)) \mod A,y=(k \mod B)$。

所以有 $0=(k \mod B)$，即 $k|B$，因此有：
$0=(k+\frac{k}{B}) \mod A$

$0=\frac{k(B+1)}{B} \mod A$

等价于：
$0≡\frac{k(B+1)}{B}(\mod A)$
插播一个知识（转载自：https://blog.csdn.net/linjiayang2016/article/details/80299904）

$\quad$若 $ac≡bc\pmod m$，且 $(c,m)=d$，则 $a≡b\pmod{\dfrac{m}{d}}$
　　证明： $\because ac≡bc\pmod m$
　　　　　 $\therefore m|ac-bc$
　　　　　 $\therefore m|c(a-b)$
　　　　　又 $\because (c,m)=d$
　　　　　 $\therefore \frac md|\frac cd (a-b)$
　　　　　又 $\because (\dfrac cd,\dfrac md)=1$
　　　　　 $\therefore \frac md|a-b$
　　　　　即 $a≡b\pmod{\dfrac{m}{d}}$

那么有：
$0≡\frac{k}{B}(\mod \frac{A}{\gcd(A,B+1)})$

$0≡k(\mod \frac{AB}{\gcd(A,B+1)})$

因为 $k$为最小的正整数，所以 $k=\frac{AB}{\gcd(A,B+1)}$。
即循环节为 $\frac{AB}{\gcd(A,B+1)}$。

既然求出了这个，我们再用线段覆盖（去掉相同的数对）即可。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
	int n,tot=0;
	LL A,B,len,ans=0;
	struct node{LL l,r;} a[2000010];
LL gcd(LL x,LL y)
{
	return !y?x:gcd(y,x%y);
}
bool cmp(node x,node y)
{
	return x.l==y.l?x.r<y.r:x.l<y.l;
}
int main()
{
	LL l,r;
	scanf("%d %lld %lld",&n,&A,&B);
	len=(A*B/gcd(A,B+1));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld %lld",&l,&r);
		if(r-l+1>=len)
		{
			printf("%lld\n",len);
			return 0;
		}
		if(l%len<=r%len) a[++tot]=(node){l%len,r%len}; else a[++tot]=(node){l%len,len-1},a[++tot]=(node){0,r%len};
	}
	sort(a+1,a+tot+1,cmp);
	l=a[1].l,r=a[1].r;
	for(int i=2;i<=tot;i++)
	{
		if(a[i].l>r) {ans+=r-l+1;l=a[i].l,r=a[i].r;continue;}
		r=max(r,a[i].r);
	}
	ans+=r-l+1;
	printf("%lld",ans);
}