杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623~1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年。
如果将(a+b)n(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由小到大排列，就可以得到下面的等式：
(a+b)0=1 ， 它只有一项，系数为1；
(a+b)1=a+b ，它有两项，系数分别是1，1；
(a+b)2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别是1，2，1；
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别是1，3，3，1；
……
由此，可得下面的图表，这个图表就是杨辉三角形。
观察上图表，我们发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数中间，且等于它们的和，可以按照这个规律继续将这个表写下去。
【例1】杨辉三角形。
输入n（1<=n<=30)，输出杨辉三角形的前n行。
（1）编程思路1。
用一个二维数组 y[31][31] 来保存杨辉三角形每一行的值。杨辉三角形第row行可以由第row－1行来生成。
例如：
| 数组元素 |
Y[row][1] |
Y[row][2] |
Y[row][3] |
Y[row][4] |
Y[row][5] |
| Row=4行 |
1 |
3 |
3 |
1 |
0 |
| Row=5行 |
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
由上表知：当row＝5时， y[5][1] = 1，
y[5][2] = y[4][1] + y[4][2]， y[5][3] = y[4][2] + y[4][3]，
y[5][4] = y[4][3] + y[4][4] ， y[5][5] = y[4][4] + y[4][5]
一般的，对于第row（1～30）行，该行有row＋1个元素，其中：
y[row][1]=1
第col（2～row+1)个元素为： y[row][col] = y[row-1][col-1] + y[row-1][col]。
（2）源程序1。
#include <stdio.h>
int main()
{
int n,i,j,y[31][31]={0};
for (i=1;i<=30;i++) // 赋行首与行尾元素值为1
y[i][1]=y[i][i]=1;
for (i=3;i<=30;i++) // 每行中间元素赋值
for (j=2;j<i;j++)
y[i][j]=y[i-1][j-1]+y[i-1][j];
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for (i=1;i<=n;i++)
{
for (j=1;j<=i;j++)
{
if (j!=1) printf(" ");
printf("%d",y[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
return 0;
}
（3）编程思路2。
用一个一维数组 y[30] 来保存杨辉三角形某一行的值。杨辉三角形第row行可以由第row－1行来生成。
例如：
| 数组元素 |
Y[0] |
Y[1] |
y[2] |
Y[3] |
Y[4] |
| Row-1=3行 |
1 |
3 |
3 |
1 |
0 |
| Row=4行 |
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
由上表知：当row＝4时，y[4] = y[4]+y[3]， y[3] = y[3]+y[2]，
y[2] = y[2]+y[1] ， y[1] = y[1]+y[0]，
y[0]=1
一般的，对于第row（0～9）行，该行有row＋1个元素，
第col（row～1)个元素为： y[col]=y[col]+y[col-1]，
y[0]=1
（4）源程序2。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
int y[30],row,col,n;
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
{
memset(y,0,sizeof(y)); // 数组元素初始化为0
y[0]=1;
printf("%d\n",y[0]);
for (row=1;row<n;row++)
{
for (col=row;col>=1;col--)
y[col]=y[col]+y[col -1];
for (col=0;col<=row;col++)
{
if (col!=0) printf(" ");
printf("%d",y[col]);
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
return 0;
}
将上面的两个源程序提交给HDU 2032“杨辉三角”，均可以Accepted。
下面我们进一步讨论一下杨辉三角形，个人感觉有趣。
我们根据杨辉三角形前16行中每个数的奇偶性决定是否输出一个特定字符。比如如果是奇数，输出一个“*”号；是偶数，输出一个空格。编写如下的程序：
#include <stdio.h>
int main()
{
int n,i,j,y[17][17]={0};
for (i=1;i<=16;i++) // 赋行首与行尾元素值为1
y[i][1]=y[i][i]=1;
for (i=3;i<=16;i++) // 每行中间元素赋值
for (j=2;j<i;j++)
y[i][j]=y[i-1][j-1]+y[i-1][j];
for (i=1;i<=16;i++)
{
for (j=1;j<=i;j++)
if (y[i][j]%2==1) printf("* ");
else printf(" ");
printf("\n");
}
return 0;
}
运行上面的程序，可以得到如下的运行结果。
运行结果的图形是一个递归深度为4的三角形。 通过这个图形，我们感觉杨辉三角形中每个数字的奇偶应该满足一定的规律。
组合数C(n,m)是指从n个元素中选出m个元素的所有组合个数。其通用计算公式为：
C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!] C(0,0)=1 C(1,0)=1 C(1,1)=1
从n个元素中取m个元素，考虑第n个元素，有两种情况：（1）不取。则必须在前n-1个元素中取m个元素，方案数为C(n-1,m)；（2）取。则只需在前n-1个元素中取m-1个元素，方案数为C(n-1,m-1)。因此， C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)
这正好符合杨辉三角形的递推公式。 即 杨辉三角中第i行第j列的数字正是C（i,j）的结果。因此，下面对杨辉三角形中各行各列数字的讨论转化为对组合数C(n,m)的讨论。
【例2】组合数的奇偶性。 （POJ 3219）
二项式系数C(n, m)因它在组合数学中的重要性而被广泛地研究。二项式系数可以如下递归的定义：
C(1, 0) = C(1, 1) = 1；
C(n, 0) = 1 对于所有n > 0；
C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m) 对于所有0 < m ≤ n。
给出n和k，确定C(n, m)的奇偶性。
（1）编程思路1。
对于给定C(n,m)，检查n！中2因子的个数与m！和(n-m)！中2因子个数和的关系，假设n!中2因子个数为a，m!中2因子个数为b，(n-m)!中2因子个数为c，则显然有a>=(b+c)；并且当a==b+c时，一定为奇，否则为偶。
（2）源程序1。
#include <stdio.h>
int getTwo(int x) // x!中2的因子的个数
{
int cnt=0;
while (x/2!=0)
{
cnt += x/2;
x=x/2;
}
return cnt;
}
int main()
{
int n,k;
while (scanf("%d%d", &n,&k)!=EOF)
{
if (getTwo(n)-getTwo(k)-getTwo(n-k)>0)
printf("0\n");
else
printf("1\n");
}
return 0;
}