杨辉三角形生成器

《程序员的数学》通过“杨辉三角形”（Pascal’s Triangle）的演示了一种“从复杂问题中发现隐含递归结构”的方法：1）从整体中隐去部分问题；2）判断剩余部分是否和整体问题是同类问题。通过这种方法可以很好的解释“为什么杨辉三角形中会出现组合数”。
《程序员的数学》只是揭开了“杨辉三角形”神秘的一角：相邻两数之和、阶乘、路径选择、组合数。除了这些，MathisFun - Pascal’s Triangle 中介绍了很多它的神奇关联，有兴趣的可以去看看。不过，本文的重点是：如何通过简单的代码来生成“杨辉三角形”。
注：事实上，我在中学阶段就接触到了“杨辉三角形”，最早接触的二项式定理 $(a+b)^n$ 就与杨辉三角形紧密的联系在一起。

一、杨辉三角形

在此我借用《程序员的数学》中的方法来表示“杨辉三角形”，第一种表示法是传统的“相邻两数相加”。
这里写图片描述
如上图所示，每个数字都是上方与它相邻的两数之和，其中箭头表示两数的相加方向。下面是一个动图

另一种表示“杨辉三角形”的方法——组合数，如下：
这里写图片描述
事实上，借助“杨辉三角形”运用拓扑学中 “路径选择” 能够帮助我们轻松理解组合数 $C_n^k$ 以及递推公式 $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$

如上图所示，思考一下从起点到终点共有多少中走法（路径选择）？而各个分叉点标注的正好是从起点到本分叉点的走法。再看下面这个图：
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从起点到终点，或左或右走下来的路线有多少呢？总共要进行5次选择，其中不管怎么选，上图要到达终点，必须不多不少的选择3次往右。

C_{5}^{3} = \frac{5!}{(5 - 3)! 3!} = 10

$C_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!3!} = 10$
这个就是组合数的意义。
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二、杨辉三角生成器

杨辉三角形的最基本定义是“相邻两数相加”，但是，三角形两边的数并不是相加得到的，因此在用代码表示的时候，会增加 if-case 分支。我想到了一种方法，通过在每行两端补，来达到统一，代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-

def triangles():
    lst = [1]
    yield lst
    while True:
        lst1 = [0] + lst
        lst2 = lst + [0]
        lst = []
        for v1, v2 in zip(lst1, lst2):
            lst.append(v1+v2)
        yield lst

这段代码非常好理解，就是将原向量复制成两份，在首尾补零，然后就是两个向量相加生成新的向量。但是，从算法的复杂度上来说，空间复杂度有点高—— O(3n)。下面再给出一个优化版本：

# -*- coding: utf-8 -*-

def triangles():
    lst = [1]
    yield lst
    while True:
        prev = 0
        lst = lst + [0]
        for i in range(len(lst)):
            tmp = lst[i]
            lst[i] += prev
            prev = tmp
        yield lst

分析：从渐进意义来说，这两个版本的复杂度是一样的。

三、扩展

除了“杨辉三角形”，还有一个非常经典的组合数列——卡特兰数（Catalan Numbers），它在数学竞赛、信息学竞赛、组合数学、计算机编程等方面都会有其不同侧面的介绍，比如：卡特兰数——计数的映射方法。它的Python生成代码如下：

# A recursive function to find nth catalan number
def catalan(n):
    # Base Case
    if n <=1 :
        return 1

    # Catalan(n) is the sum of catalan(i)*catalan(n-i-1)
    res = 0
    for i in range(n):
        res += catalan(i) * catalan(n-i-1)

    return res

# Driver Program to test above function
for i in range(10):
    print catalan(i),
# This code is contributed by Nikhil Kumar Singh (nickzuck_007)

注：以上代码出自 program nth catalan number