数据结构与算法——图论

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一、图的概念

图形由顶点/节点和连接这些顶点的边/线组成。
图可以是无向的（意味着在与每个双向边相关联的两个顶点之间没有区别）或者可以指向图（意味着其边缘从一个顶点指向另一个顶点但不一定在另一个方向上）。
可以对图形进行加权（通过向每个边缘分配权重，其表示与该连接相关联的数值）或者图形可以是未加权的（所有边缘具有单位权重1或者所有边缘具有相同的恒定权重）

图的可视化

• 顶点（vertex）

顶点为上图中带数字的圆形，表示某个事物或对象。由于图的术语没有标准化，因此，称顶点为点、节点、结点、端点等都是可以的。

• 边（edge）

边为上图中顶点之间的线条，表示事物与事物之间的关系，需要注意的是边表示的是顶点之间的逻辑关系。

• 有向/无向图（Directed Graph/ Undirected Graph）

最基本的图通常被定义为无向图（上两幅图），与之对应的则被称为有向图（下两幅图）。两者唯一的区别在于，有向图中的边是有方向性的。

• 权重（weight）

边的权重（或者称为权值、开销、长度等），为每条边都有与之对应的值，右侧两幅图为有权图。

• 连通图/连通分量（connected graph/connected component）

如果在图中，任意2个顶点之间都存在路径（不需要直接连接），那么称其为连通图，上面的图都是连通图。

二、图的表示方法

2.1 邻接矩阵

邻接矩阵的核心思想是针对每个顶点设置一个表，这个表包含所有顶点，通过True/False来表示是否是邻居顶点，[0,1]为True即0->1。

N = [[0, 1, 1, 0, 0],  # 0 的邻接情况
     [0, 0, 1, 1, 0],  # 1 的邻居表
     [0, 0, 0, 1, 0],  # 2 的邻居表
     [0, 0, 0, 0, 1],  # 3 的邻居表
     [0, 0, 0, 0, 0]]  # 4 的邻居表

邻接矩阵操作

# 顶点1是否是0的邻居顶点
print(N[1][0])

# 顶点1的邻居顶点个数
print(sum(N[1]))

# 顶点1的邻居顶点
neighbour = []
for i in range(len(N[1])):
     if N[1][i]:
          neighbour.append(i)
print(neighbour)

2.2 邻接列表

邻接列表的核心思想就是针对每个顶点设置一个邻居表。

N = [{1, 2},  # 0 的邻居表
     {2, 3},  # 1 的邻居表
     {3},  # 2 的邻居表
     {4},  # 3 的邻居表
     {}]  # 4 的邻居表

邻接列表操作

# 顶点1的邻居顶点
print(N[1])
# 顶点1是否是0的邻居顶点
print(1 in N[0])
# 顶点1的邻居顶点个数
print(len(N[1]))

因为不能重复存储邻居顶点，所以每个顶点的邻居表都是一个集合(set)。当表示带权重值的图时，可以使用字典。

N = [{1: 1, 2: 1},  # 0 的邻居表
     {2: 1, 3: 2},  # 1 的邻居表
     {3: 1},  # 2 的邻居表
     {4: 1},  # 3 的邻居表
     {}]  # 4 的邻居表

# 边(0,1)的权重
if 1 in N[0]:
     print(N[0][1])

2.3 边缘列表

N = [{0, 0},  # 0 的邻居表
     {0, 2},  
     {1, 2},  # 1 的邻居表
     {1, 3},  
     {2, 3},  # 2 的邻居表
     {3, 4}]  # 3 的邻居表

参考

图论（一）基本概念
图论（六）图的两种表示方法