Dynamic Programming(DP)之LCS(Longest Common Subsequence)/最长公共子序列

问题描述：

最长公共子序列。给定两个长度分别为M和N的字符串a和b，求既是a的子序列又是b的子序列的字符串长度最长是多少。

状态表示：

f[i][j]表示前缀字串a[1~i]与b[1~j]的“最长公共子序列”的长度。

阶段划分：

已经处理的前缀长度(两个字符串中的位置，即一个二维坐标系)

转移方程：

f[i，j]＝max{f[i-1，j]，fg[i，j-1]}　　a[i]!＝b[j]

f[i，j]＝max{f[i-1，j]，f[i，j-1]，f[i-1，j-1]+1}　　a[i]＝b[j]

边界：

f[i，0]＝f[0，j]＝0

目标：

f[M,N]

代码实现1：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string a;
string b;
int s[1111][1111];
int main(){
	cin>>a>>b;
	int x=a.size();
	int y=b.size();
	for(int i=1;i<=x;i++){
		for(int j=1;j<=y;j++){
			if(a[i-1]==b[j-1]){
				s[i][j]=max(s[i][j],s[i-1][j-1]+1);
			}else{
				s[i][j]=max(s[i][j-1],s[i-1][j]);
			}
		}
	}
	cout<<s[x][y];
	return 0;
}

在以下代码中，g[i，j]表示从哪里转移

代码实现2(打印路径)：

写一个函数，用于递归输出

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char a[1111],b[1111];
int f[1111][1111];
int g[1111][1111];
void s(int i,int j){
	if(i==0||j==0){
		return;
	}
	if(!g[i][j]){
		s(i-1,j-1);
		cout<<a[i-1];
	}else if(g[i][j]==1){
		s(i-1,j);
	}else if(g[i][j]=-1){
		s(i,j-1);
	}
}
int main(){
	cin>>a>>b;
	int lena=strlen(a);
	int lenb=strlen(b);
	for(int i=1;i<=lena;i++){
		for(int j=1;j<=lenb;j++){
			if(a[i-1]==b[j-1]){
				f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
				g[i][j]=0;
			}else{
				if(f[i-1][j]>f[i][j-1]){
					f[i][j]=f[i-1][j];
					g[i][j]=1;
				}else{
					f[i][j]=f[i][j-1];
					g[i][j]=-1;
				}
			}
		}
	}
	s(lena,lenb);
	return 0;
}

代码实现3(打印路径)：

逆序的回溯，使用栈存储路径

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char a[1111],b[1111],c;
int f[1111][1111];
int main(){
	cin>>a>>b;
	int la=strlen(a);
	int lb=strlen(b);
	for(int i=1;i<=la;i++){
		for(int j=1;j<=lb;j++){
			if(a[i-1]==b[j-1]){
				f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
			}else{
				f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
			}
		}
	}
	int i=la,j=lb;
	stack<char>s;
	while(f[i][j]){
		if(f[i][j]==f[i-1][j]){
			i--;
		}else if(f[i][j]==f[i][j-1]){
			j--;
		}else if(f[i][j]>f[i-1][j-1]){
			i--;
			j--;
			s.push(a[i]);
		}
	}
	while(!s.empty()){
		c=s.top();
		cout<<c;
		s.pop();
	}
	return 0;
}