C++版 - Lintcode 77-Longest Common Subsequence最长公共子序列(LCS) - 题解

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https://www.lintcode.com/problem/longest-common-subsequence/

题目描述

一个字符串的一个子序列是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。例如，”ACE” 是 “ABCDE” 的一个子序列，而 “AEC” 不是）。
给出两个字符串，找到最长公共子序列(LCS)，返回LCS的长度。

说明

该问题是一个经典的计算机科学问题，也是数据比较程序，比如Diff工具。它也被广泛地应用在版本控制，比如Git用它来协调文件之间的改变。它还是生物信息学应用的基础。
https://en.wikipedia.org/wiki/Longest_common_subsequence_problem

样例
给出“ABCD” 和 “EDCA”，这个LCS是 “A” (或 D或C)，返回1
给出 “ABCD” 和 “EACB”，这个LCS是“AC”返回 2

注意：
序列可以不连续。

分析:
将算式的计算结果记录在内存中，需要时直接调用该结果，从而避免无用的重复计算，提高处理效率，这在程序和算法设计中是一种行之有效的手法。动态规划就是这类手法之一。

事实上动态规划是一种记忆化递归(memorized recursive)，缓存部分重要数据。另外，动态规划法可以建立递归式，通过循环顺次求出最优解。

为方便说明，这里我们用 $X_i$ 代表{ $x_1,x_2,\cdots,x_i$ }，用 $Y_j$ 代表{ $y_{1},y_{2},\cdots,y_{j}$ }。那么，求长度分别为m、n的两个序列X、Y的LCS，就相当于求 $X_m$ 与 $Y_n$ 的LCS。我们将其分割为局部问题进行分析。

首先，求 $X_m$ 与 $Y_n$ 的LCS时要考虑以下两种情况：

当 $x_m=y_n$ 时，在 $X_{m-1}$ 与 $Y_{n-1}$ 的LCS后面加上 $x_m(=y_{n})$ 就是 $x_m$ 与 $y_n$ 的LCS。

举个例子，X=(a,b,c,c,d,a),Y={a, b, c, b, a}时 $x_m=y_n$ ，所以在 $X_{m-1}$ 与 $Y_{n-1}$ 的LCS({a, b,c})后面加上 $x_m$ {=a) 即为 $X_m$ 与 $Y_n$ 的LCS。
当 $x_m≠y_n$ 时， $X_{m-1}$ 与 $Y_n$ 的LCS和 $X_m$ 与 $Y_{n-1}$ 的LCS中更长的一方就是 $X_m$ 与 $Y_n$ 的LCS。

举个例子，X={a,b,c,c,d}, Y={a,b,c,b,a}时， $X_{m-1}$ 与 $Y_n$ 的LCS为{a,b,c)， $X_m$ 与 $Y_n$ 的LCS为{a,b,c,b}，因此 $X_m$ 与 $Y_{n-1}$ 的LCS就是 $X_m$ 与 $Y_n$ 的LCS。

这个算法对 $X_i$ 与 $Y_j$ 同样适用。于是可准备下述函数，用来求解LCS的局部问题。

c[m+1][n+1]: 该二维数组中，c[i][j]代表 $X_i$ 与 $Y_j$ 的LCS的长度

c[i][j]的值可由下述递推公式(Recursive Formula)求得。

c [i] [j] = {\begin{cases} 0 & i = 0 | | j = 0 \\ c [i - 1] [j - 1] + 1 & i, j > 0 a n d x_{i} = y_{j} \\ m a x (c [i] [j - 1], c [i - 1] [j]) & i, j > 0 a n d x_{i} \neq y_{j} \end{cases}

$c[i][j]=\begin{cases} 0 & i = 0 \ || \ j =0 \\ c[i-1][j-1] + 1 & i,j >0 \ and \ x_i = y_{j} \\ max(c[i][j-1], c[i-1][j]) & i,j >0 \ and \ x_i ≠ y_{j} \end{cases}$

基于上述变量和公式，可以用动态规划法求序列X与Y的LCS。

已AC代码如下:

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string &A, string &B) {
        int m = A.size();
        int n = B.size();

        int **c = (int **)malloc((m+1) * sizeof(int *));
        for (int i = 0; i < m + 1; i++)
            c[i] = (int *)malloc((n+1) * sizeof(int));

        int max1 = 0;
        A = ' ' + A;
        B = ' ' + B;
        for (size_t i = 1; i <= m; i++)
            c[i][0] = 0;
        for (size_t j = 1; j <= n; j++)
            c[0][j] = 0;

        for (size_t i = 1; i <= m; i++)
        {
            for (size_t j = 0; j <= n; j++)
            {
                if (A[i] == B[j])
                {
                    c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
                }
                else
                    c[i][j] = max(c[i][j - 1], c[i - 1][j]);
                max1 = max(max1, c[i][j]);
            }
        }
        return max1;
    }
};

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扩展阅读:
最长公共子序列问题 - Fogsail Chen - SegmentFault 思否
https://segmentfault.com/a/1190000008521545