\(Dsu\)做法详解
首先 , \(Dsu\)原理应该不必多说 , 即取重儿子 , 将轻儿子合并
统计答案时 , 我们将以 当前所在点\(u\) 为\(LCA\)的点答案进行统计
### 但是,这题用 \(Dsu\) 做的难点在于储存 , 所以我们重点讲储存
我们先暂且不考虑取模
首先 , 容器是全局的 , 存的值也必然是全局的
然而 , 我们所知的全局的值只有两种路径,即\(u\)到\(1\)的路径\(disup\) , 以及\(1\)到\(u\)的路径\(disdown\) , 在维护这两个值时,我们同时维护一个\(dep\)数组(这里的\(dep\)是从\(0\)开始计数的)
我们得到递推式
\[ disup[v]=disup[u]+10^{dep[u]}*w\]
\[ disdown[v]=10 \cdot disdown[u]+w \]
即将边权为w的边分别接在前后
ps : 因为要多次用到\(10^x\),所以我们先预处理一个数组\(po[x]=10^x\)
所以预处理代码如下
void pre_dfs(int u,int f) {
for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].nxt)if(e[i].to!=f) {
int v=e[i].to,w=e[i].w;
disup[v]=disup[u]+po[dep[u]]*w;
disdown[v]=10*disdown[u]+w;
dep[v]=dep[u]+1;
pre_dfs(v,u);
}
}维护答案时 , 对于一个点,我们先要将其到\(LCA\)的路径表示出来
设这两段路径为\(up,down\)即
\[ up= \frac {disup[u]-disup[lca]}{10^{dep[lca]}} \]
\[ down=disdown[u]-disdown[lca]\cdot 10^{dep[u]-dep[lca]} \]
在维护答案时,我们显然是要为一段\(up\)的路径找到一段\(down\)的路径与其匹配
设我们所求的一段路径起始点为\(begin\),结束点为\(end\),则满足条件的路径满足等式
\[ up \ \cdot \ 10^{dep[end]-dep[lca]} \ + \ down \equiv \ 0 \pmod{m}\]
我们将\(up\)和\(down\)的表达式带入
\[ \frac {(disup[begin]-disup[lca]) \cdot 10^{dep[end]} }{10^{2 \cdot dep[lca]}} + \frac {disdown[end]-disdown[lca]\cdot 10^{dep[end]}} {10^{dep[lca]}} \]
(有那么一点长)
现在我们考虑存储
对于存入\(up\) , 存入时 , 其实我们只知道 \(disup[begin]\) 这一个值 , 所以我们存下这个值 , 将上式变形
\[ disup[begin] = disdown[lca] \cdot 10^{dep[lca]} - \frac{disdown[end] \cdot 10^{2 \cdot dep[lca]} }{10^{dep[end]}}+disup[lca]\]
所以访问答案时 , 我们用上式访问即可
对于存入\(down\),存入时,我们所知的量有\(disdown[end],dep[end]\) , 我们再次变换上式 , 将这两个量提出
\[ \frac{disdown[end]}{10^{dep[end]}} = \frac {disdown[lca]}{10^{dep[lca]}} - \frac {disup[begin]-disup[lca]}{10^{2 \cdot dep[lca]}} \]
这两个值都用\(map\)访问即可
现在我们考虑到取模 , 上式中每次运算都加以取模
但是显然模运算之后是不能直接除的 , 所以我们用模逆元
嗯 , 模逆元我用的是扩欧
(惊奇得发现分母都是\(10^{x}\)类型的)
(这就是为什么题目给出\(gcd(m,10)=1\))
#### 以上是储存的过程
还有一个点 , 即如何将轻儿子的值合并
我们要避免儿子自己的信息和自己合并 , 所以要对于每个轻儿子 , 先算一次答案 , 再添加信息
再访问完儿子后 , 再将自己信息加入即可
整体代码
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=2e5+100;
typedef long long ll;
int n,m;
void Exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
if(!b)x=1,y=0;
else Exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
ll Inv(ll a) {
ll x,y;
Exgcd(a,m,x,y);
x=(x%m+m)%m;
return x;
}
int po[N]= {1};
struct Edge {
int to,nxt,w;
} e[N<<1];
int head[N],ecnt;
inline void AddEdge(int u,int v,int w) {
e[++ecnt].nxt=head[u];
e[ecnt].to=v;
e[ecnt].w=w;
head[u]=ecnt;
}
int cnt[N],son[N],dep[N];
ll disup[N],disdown[N];
void pre_dfs(int u,int f) {
cnt[u]=1;
for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].nxt)if(e[i].to!=f) {
int v=e[i].to,w=e[i].w;
disup[v]=(disup[u]+1ll*po[dep[u]]%m*w)%m;
disdown[v]=(10ll*disdown[u]%m+w)%m;
dep[v]=dep[u]+1;
pre_dfs(v,u);
cnt[u]+=cnt[v];
if(cnt[son[u]]<cnt[v])son[u]=v;
}
}
map<int,int> U,D;
ll ans;
void Calc(int u,int LCA) {
ll Ub=disup[u],pl=po[dep[LCA]],pe=po[dep[u]],Dl=disdown[LCA],De=disdown[u],Ul=disup[LCA];
ll x = ((1ll*Dl* pl %m -1ll* De *pl %m* pl %m *Inv(pe) %m+1ll*Ul)%m+m)%m;
x=(x+m)%m;
ll y =(1ll* Dl * Inv(pl) %m+1ll*(Ul-Ub)*Inv(pl)%m*Inv(pl)%m)%m;
y=(y+m)%m;
ans+=U[x];
ans+=D[y];
}
void Add(int u) {
ll x=disup[u],y=1ll*disdown[u]*Inv(po[dep[u]])%m;
U[x]++,D[y]++;
}
void Upd(int u,int f,int LCA,int k) {
// cout<<"Now in"<<' '<<u<<' '<<up<<' '<<down<<endl;
// cout<<"U"<<u<<endl;
if(k)Calc(u,LCA);
else Add(u);
// cout<<"Upd"<<' '<<x<<' '<<y<<' '<<k<<endl;
for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].nxt) {
int v=e[i].to;
if(v==f)continue;
Upd(v,u,LCA,k);
}
// Add(u);
// s+=k*2;
}
void dfs_getans(int u,int f,int h) {
for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].nxt)
if(e[i].to!=f&&e[i].to!=son[u])
dfs_getans(e[i].to,u,0);
if(son[u])dfs_getans(son[u],u,1);
// int lst=ans;
for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].nxt) if(e[i].to!=f&&e[i].to!=son[u]) {
Upd(e[i].to,u,u,1);
Upd(e[i].to,u,u,0);
}
Calc(u,u);
Add(u);
if(!h)U.clear(),D.clear();
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(head,-1,sizeof head);
for(int i=1; i<=n+3; i++)po[i]=1LL*po[i-1]*10%m;
for(int i=2,u,v,w; i<=n; i++) {
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
u++,v++;
AddEdge(u,v,w);
AddEdge(v,u,w);
}
// dep[1]=1;
pre_dfs(1,0);
dfs_getans(1,0,1);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}