题目链接 ：https://leetcode-cn.com/problems/triangle/
题目描述：
给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。
例如，给定三角形：
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。
说明：
如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。
思路：
我的第一个思路是用DFS,遍历所有从上到下的路径,如下图所示:
def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
self.res = float("inf")
row = len(triangle)
def helper(level, i, j, tmp):
if level == row:
self.res = min(self.res, tmp)
return
if 0 <= i < len(triangle[level]):
helper(level + 1, i, i+1, tmp + triangle[level][i])
if 0 <= j < len(triangle[level]):
helper(level + 1, j, j+1, tmp + triangle[level][j])
# 层level, 访问下一层两个节点位置i,j , 目前总和tmp
helper(0, -1, 0, 0)
return self.res上面做法遍历所有路径,所以会超时,所以我们采用带记忆的DFS(动态规划的自顶向下),
def minimumTotal(self, triangle) -> int:
import functools
row = len(triangle)
@functools.lru_cache(None)
def helper(level, i, j):
if level == row:
return 0
res = 0
a = float("inf")
b = float("inf")
if 0 <= i < len(triangle[level]):
a = helper(level + 1, i, i + 1) + triangle[level][i]
if 0 <= j < len(triangle[level]):
b = helper(level + 1, j, j + 1) + triangle[level][j]
res += min(a, b)
return res
return helper(0, -1, 0) 接下来,我们用自底向上动态规划
我们先用\(O(n^2)\)空间,这样更容易理解
dp[i][j] 表示到从上到下走到i,j位置最小路径的值.
动态方程: dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j+1]) + triangle[i][j]
当然对于第一个和最后一个要单独考虑.
def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
n = len(triangle)
if n == 0:
return 0
# 建dp空间
dp = [[0] * i for i in range(n)]
dp[0][0] = triangle[0][0]
for i in range(1, n):
for k in range(i + 1):
if k == 0:
dp[i][k] = dp[i - 1][k] + triangle[i][k]
elif k == i:
dp[i][k] = dp[i - 1][k - 1] + triangle[i][k]
else:
dp[i][k] = min(dp[i - 1][k - 1], dp[i - 1][k]) + triangle[i][k]
return min(dp[-1])其实我们dp时候每次只用到上一层数据,如果我们倒着,从底向上可以优化成\(O(n)\)空间的
def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
row = len(triangle)
dp = [0] * row
for i in range(len(triangle[-1])):
dp[i] = triangle[-1][i]
#print(dp)
for i in range(row - 2, -1, -1):
for j in range(i + 1):
dp[j] = min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle[i][j]
return dp[0] java
class Solution {
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
int row = triangle.size();
int[] dp = new int[row];
for (int i = 0; i < row; i++) dp[i] = triangle.get(row - 1).get(i);
for (int i = row - 2; i >= 0; i--)
for (int j = 0; j <= i; j++)
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
return dp[0];
}
}