Introduction

在工程上，我们通常需要对离散的信号进行处理。所以我们必须要应用一种离散的傅里叶
变换。傅里叶级数的表示形式。如果们又信号 $f(t)$
$\alpha_k=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{f(x)e^{-i \frac{k \pi x}{l}}dx},(k=0,\pm 1,\pm 2,...)$ 令 $l=\pi$ ,我们有，注意一点 $i$ 是虚数单位。不是下标
$\alpha_k=\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}{f(t)e^{-ikt}dt},(k=0,\pm 1, \pm 2, ...)$
我们看 $\alpha_k$ 对应频率成分是 $\frac{k}{2\pi}$ ,那么我们可以看到。那么我们可以
看到，我们恒可以把离散的数据 $y=\{y_i\},y=(1,2,...,n)$ ，看做一个周期 $2\pi$ 上的
采样点。因为 $y$ 是一定离散的数据。

那么我们如何来计算 $\alpha_k$ ？因为 $f(t)=\{y_i\}$ ,是离散信号。所以我们必须变换
$\alpha_k$ 为如下的等式,注意有一点儿，也就是 $i$ 是虚数单位，不是标号。

$\alpha_k=\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}f(\frac{2\pi j}{n})e^{\frac{-2\pi i j k}{n}}$
也就是说

$\widehat{y}_{k}/n\approx\alpha_k\approx \frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}y_j \overline{w}^{jk}$

$y_j=f(\frac{2\pi j}{n}), w=e^{\frac{2\pi i}{n}}$
我们把 $\widehat{y}_k$ 叫做离散傅里叶变换。

Discrete Fourier Analysis

我们来看看离散傅里叶级数的一些分析，离散傅里叶变换，实际上就是对下面的公式进行
离散化。也就是离散 $(0,2\pi)$ ，用离散的数据来替代。所以积分 $\int_{0}^{2\pi}$ 变
成了累加 $\sum_{j=0}^{n-1}$ , $f(t)\mapsto y_j$

$\alpha_k=\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}{f(t)e^{-ikt}dt},(k=0,\pm 1, \pm 2, ...)$

$\widehat{y}_{k}/n\approx\alpha_k\approx \frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}y_j \overline{w}^{jk}$

所以不难理解，这是用离散的值来计算 $\alpha_k$ 的直接表现。那么下面我们来看看当
$k>n$ 时会发生什么

一般我们只计算 $\widehat{y}_0,...,\widehat{y}_{n-1}$ ,为什么我们不计算
$\widehat{y}_{n}$ ?,让我们来看看为什么？

$k=n$ ,首先计算下 $\overline{w}^{n}=w=(e^{\frac{2\pi i}{n}})^n=e^{2\pi i}=w^0$ ，
同理， $w^{n+1}=w,w^{n+2}=w^2$ ，所以，实际上我们实在计算重复的东西。另外，这也
解释了一定采样频率的信号，不可能含有比采样频率更高频率的信号。于是我们得出结论
$\overline{y}_0,...,\overline{y}_{n-1}$ 就是我们需要的离散傅里叶变换。

Matrix Form

$F_n=\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & ... & \omega^{n-1}\\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & ... & \omega^{2(n-1)} \\ \vdots & & & & \vdots \\ 1 & \omega^{n-1} & \omega^{2(n-1)} & ... & \omega^{(n-1)^2} \end{array} \right)$

那么离散傅里叶变换就直接转换为了矩阵算法。方便工程上的实践。

Example

我们来看看一个具体的例子。这个例子我是从别的文章中看到的。我们先来看看原始信号
的

$f(t)=2+\frac{3}{2}cos(150\pi t+\frac{\pi}{2})+3sin(100\pi t-\frac{\pi}{6})$
很明显，这个信号含有两种频率成分的信号，一种是 $f_1=75Hz,f_2=50Hz$ .
我们的采样频率取 $f_s=512Hz$ ,这样在 $t\in [0, 1)$
上我们就可以取512个数据。然后使用傅里叶
变换后。我们会得到512个 $\widehat{y}_j$ 。注意我们得到的是复数。那么我们怎么根据
复数信息来计算频谱成分？

数据中大部分都是0，有效的数据为 $\left. \begin{aligned} \widehat{y}_{0}&=&1024\\ \widehat{y}_{50}&=&665.108+384i\\ \widehat{y}_{75}&=&-384i\\ \widehat{y}_{437}&=&384i\\ \widehat{y}_{462}&=&665.108 -384i \end{aligned} \right.$
那么我们如何才能够从离散傅里叶变换中找出找出频率成分和相位，还有我们的常
数项？
1. 注意我们是将整个采样区间映射到了 $0,2l$ 上，而我们一般采用的是 $-l,l$ 上。
  所以根据我另外一篇文章傅里叶变换中提到的变换方法可以得。
  
  $n*\alpha_{-\lambda}=\widehat{y}_{-50}=665.108-384i$
  $n*\alpha_{-\lambda}=\widehat{y}_{-75}=-384i$
2. 我们来利用公式
  $n*\alpha_{\lambda}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\widehat{f}(\lambda)=\frac{a_{\lambda}-ib_{\lambda}}{2}$
  $n*\alpha_{-\lambda}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\widehat{f}(-\lambda)=\frac{a_{\lambda}+ib_{\lambda}}{2}$
3. $n*a_{50}=2*665.108,n*b_{50}=-2*384,n*a_{75}=0,n*b_{75}=-2*384$
  也就是说，我们离散傅里叶变换之后，发现有两个频率的信号.一个是 $50Hz$ 一个是 $75Hz$ .
4. 计算 $a_0$ ，其中l是什么？是半周期。而我们的采样频率是 $n=512$ 。也就是说，
  $\widehat{y}_{k}/n\approx\alpha_k\approx \frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}y_j \overline{w}^{jk}$
  $\widehat{y}_0/512=1024/512=\alpha_0=\frac{a_0}{2}=2$
  由此我们可以知道 $a_0=4$ ，也就是说 $f(x)$ 的常数项为 $\frac{a_0}{2}=2$
5. $50Hz$ 信号计算。
  
  回忆一下
  
  $a_{50}cos(50*2\pi t)+b_{50}sin(50*2\pi t)$
  
  $A_{50}=\sqrt{(2\times 665.108/512)^2+(-2\times 384/512)^2}=3$
  $\varphi = arctan(-384/665.108)= -\frac{\pi}{6}$
  
  也就是说， $50Hz$ 的信号为。
  
  $3sin(100\pi t-\frac{\pi}{6})$
6. 同理 $75Hz$ 的信号量为
  
  $\frac{3}{2}cos(150\pi t+\frac{\pi}{2})$

The End

最后，我们可以看到，离散傅里叶变换，实际上就是在傅里叶变换的基础上，使用了离散
的信号来计算。本身没有什么特别的地方。只要懂得如何计算就行。还有一点儿就是，大
家一定要记住，复数只是为了更方便计算。我们的具体计算中并没有利用复数计算的便利
性。这是我们忽略的，读者实际上自己思考一下就能明白，利用复数，可以很快的计算出
相位和幅值。至此，我们完成了傅里叶级数，傅里叶变换，离散傅里叶变换的文章。希望
能够给读者带来一些启示。因为我的能力有限。肯定有很多地方写得不好或者是错误的。，还望你们帮忙
指出。我一定，进行修改。

离散傅里叶变换(Example)

Introduction

Discrete Fourier Analysis

Matrix Form

Example

The End

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