一.对离散傅里叶变换的解释
傅里叶变换中有一个离散傅里叶变换是现代数字系统经常用的变换，甚至比连续傅里叶变换的应用场合还要多，毕竟我们目前处在一个数字化的世界中，那么离散傅里叶变换要怎样理解呢？
离散傅里叶变换本质是周期信号求傅里叶级数！
离散信号的DTFT（离散时间傅里叶变换）在频域上是连续且周期性的，omega的周期为2pi，但是连续信号在机器中并不好储存，DFT（离散傅里叶变换）最好理解的方法就是当作它是在频域上对DTFT的采样，每隔2pi/N的频率采样一次，这样把连续的频率变成了离散的频率。
但是在写法上和DTFT有所不同，一般情况下分析DTFT的时候都会选取-pi~pi这个区间进行画图和分析，但是在DFT上我们应该选取0<=k<=N-1的区间，对应的频率也就是0~2pi这个区间。因为DTFT是周期性而且周期是2pi，所以-pi~0这个区间其实就是pi~2pi这个区间。
二.离散傅里叶变换
如果有一个周期为N的离散信号，
是整数，则
，按照连续信号傅里叶级数的思想，可以表达为频率
的傅里叶级数，且
在
区间内是完备正交基，由于
是周期函数，所以其中的一个周期
，就可以完整表达
，则：
。
为求，两边乘以
，得到：
通常将频域系数记为，
，我们发现
当然将进行周期延拓，便很容易得到周期函数
。得到离散傅里叶变换对为：
可以看出来离散傅里叶变换是直接利用周期信号求级数得来的。
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