数值分析(3)-多项式插值: 牛顿插值法

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整理一下数值分析的笔记~
目录：

1. 误差

2. 多项式插值与样条插值(THIS)

3. 函数逼近

4. 数值积分与数值微分

5. 线性方程组的直接解法

6. 线性方程组的迭代解法

7. 非线性方程求根

8. 特征值和特征向量的计算

9. 常微分方程初值问题的数值解

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1. 差商(均差)及其性质

定义1.设 $f(x)$在互异节点 $x_i$处的函数值为 $f_i,i=0,1,...,n$，称 $f[x_i,x_j]=\frac{f_i-f_j}{x_i-x_j}$为 $f(x)$关于节点 $x_i,x_j$的一阶差商， $f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_i,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_j}$为 $f(x)$关于 $x_i,x_j,x_k$的二阶差商，以此类推k阶差商： $f[x_0,x_1,...,x_{k-1},x_k]=\frac{f[x_0,x_1,...,x_{k-1}]-f[x_0,x_1,...,x_{k-2},x_k]}{x_{k-1}-x_k}$

差商的性质：

• 差商具有对称性，任意调换节点的次序，差商的值不变

• 当 $f^{k}(x)$在包含节点 $x_0,x_1,...,x_k$的区间存在时，在 $x_0,x_1,...,x_k$之间必存在一点 $\xi$使得：

$f[x_0,x_1,...,x_k]=\frac{f^{k}(\xi)}{k!}$

eg.给出函数y=f(x)的函数表，写出函数的查商表。

i	0	1	2	3
$x_i$	-2	-1	1	2
$f(x_i)$	5	3	17	21

如下：

$x_i$	$f(x_i)$	一阶差商	二阶差商	三阶差商
-2	5
-1	3	-2
1	17	7	3
2	21	4	-1	-1

2. 牛顿基本插值公式

定义2.称多项式：

$N_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x_x1)+...+\\ a_n(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})\\ =f_0+\sum^{n}_{k=1}f[x_0,x_1,...,x_k]\omega_k(x)\\ 其中\omega_k(x)=\prod^{k-1}_{j=0}(x-x_j)$

为 $f(x)$关于节点 $x_i$的n次Newton基本插值多项式，由于插值多项式具有唯一性，所以牛顿基本插值公式余项为：

$R_n(x)=f(x)-N_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)$

eg.给出f(x)的函数表，求四次牛顿插值多项式。

$x_i$	$f(x_k)$	一阶均差	二阶均差	三阶均差	四阶均差
0.40	0.41075
0.55	0.57815	1.11600
0.65	0.69675	1.18600	0.28000
0.80	0.88811	1.27573	0.35893	0.19733
0.90	1.02652	1.38410	0.43348	0.21300	0.03134

(五次均差较小近似0)，按四次牛顿插值公式带入数据：

$N_4(x)=0.41075+1.116(x-0.4)+0.28(x-0.4)(x-0.55)\\ +0.19733(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)\\ +0.03134(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)$

3. 差分及其性质

定义3.设f(x)在等距节点 $x_k=x_0+kh$处的函数值为 $f_k,k=0,1,,...,n$，称：

$\Delta f_k=f_{k+1}-f_k,k=0,1,...,n-1 \\ 为f(x)在x_k处的一阶向前差分\\ \nabla f_k=f_k-f_{k-1},k=1,2,...,n\\ 为f(x)在x_k处的一阶向后差分\\ \Delta ^2 f_k=\Delta f_{k+1}-\Delta f_k,k=0,1,...,n-1 \\ 为f(x)在x_k处的二阶向前差分\\ \nabla^2f_k=\nabla f_k-\nabla f_{k-1},k=1,2,...,n\\ 为f(x)在x_k处的二阶向后差分\\ ...\\ 以此类推：\\ \Delta ^mf_k=\Delta^{m-1}f_{k+1}-\Delta^{m-1}f_{k-1}\\ 为f(x)在x_k处的m阶向前差分\\ \nabla ^mf_k=\nabla^{m-1}f_k-\nabla^{m-1}f_{k-1}\\ 为f(x)在x_k处的m阶向后差分。\\ 可以证明\Delta ^mf_k=\nabla^mf_{k+m}$

在等距节点的前提下，差商和差分有如下关系：

$f[x_i,x_{i+1},...,x_{i+m}]=\frac{\Delta^mf_i}{m!\cdot h^m}=\frac{\nabla^mf_{i+m}}{m! \cdot h^m}$

4. 牛顿向前向后插值公式

牛顿前插公式：

$N_n(x_0+th)=f_0+t\Delta f_0+\frac{t(t-1)}{2!}\Delta^2f_0+...+\\ \frac{t(t-1)...(t-n+1)}{n!}\Delta^nf_0\\$

前插公式余项： $R_n(x)=\frac{t(t-1)...(t-n)}{(n+1)!}h^{n+1}f^{(n+1)}(\xi),\xi \in(x_0,x_n)$

牛顿后插公式：

$N_n(x_0+th)=f_n+t\nabla f_n+\frac{t(t+1)}{2!}\nabla^2f_n+...+\\ \frac{t(t+1)...(t+n-1)}{n!}\nabla^nf_n\\$

后插公式余项： $R_n(x)=\frac{t(t+1)...(t+n)}{(n+1)!}h^{n+1}f^{(n+1)}(\xi),\xi \in(x_0,x_n)$

eg.给出 $f(x)=cosx$在 $x_k=kh,k=0,1,...,6,h=0.1$处的函数值，用四次等距节点插值公式计算f(0.048)及f(0.566)的近似值并估计误差。

解：

根据题意插值条件为

$x_k$	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
$f(x_k)$	1.00000	0.99500	0.98007	0.95534	0.92106	0.87758	0.82534

1. 构造差分表

一阶	二阶	三阶	四阶	五阶
-0.005
	-0.00993
-0.01493		0.00013
	-0.0098		0.00012
-0.02473		0.00025		-0.00002
	-0.00955		0.00010
-0.03428		0.00035		-0.00001
	-0.00920		0.00009
-0.04348		0.00044
	-0.00876
-0.05224

差分表中斜体数字是 $x_0$处的各阶向前差分,黑体是 $X_6$处的各阶向后差分。

2.应用牛顿前插公式计算 $f(0.048)$的近似值

$取x=0.048,x_0=0,h=0.1,则t=\frac{x-x_0}{h}=0.48,\\ 用差分表中的各阶向前差分，得：\\ f(0.048)=cos0.048\approx N_4(0.048)\\ =f_0+t\Delta f_0+\frac{t(t-1)}{2!}\Delta^2f_0+...+\\ \frac{t(t-1)...(t-n+1)}{n!}\Delta^nf_0\\ =1.000+0.48 \times (-0.00500)+\frac{(0.48)(0.48-1)}{2!}(-0.00993)\\ +\frac{(0.48)(0.48-1)(0.48-2)}{3!}(0.00013)\\ +\frac{(0.48)(0.48-1)(0.48-2)(0.48-3)}{4!}(0.00012)=0.99885$

根据牛顿前插余项公式的误差估计：

$|R_4(x)| \leq \frac{M_5}{5!}|t(t-1)(t-2)(t-3)(t-4)|h^5,\\ 其中x=0.048,h=0.1,t=0.48,\\ M_5是cosx的五次导函数在区间[0,0.6]上绝对值的最大值,有|M_5|\leq|sin0.6| \leq0.565\\ 可知|R_4(0.048)|\leq1.5845 \times 10^{-7} [0.5 \times 10^{-6}$

3. 应用牛顿后插公式计算f(0.566)的近似值

$x=0.566,x_6=0.6,h=0.1,则t=\frac{x-x_6}{h}=-0.34\\ 用差分表中下半部的各阶向后差分得： f(0.566)=cos0.0566\approx N_4(0.566)\\ =f_n+t\nabla f_n+\frac{t(t+1)}{2!}\nabla^2f_n+...+\\ \frac{t(t+1)...(t+n-1)}{n!}\nabla^nf_n\\ =0.82534+(-0.34)\times(-0.05224)\\ +\frac{-0.34(-0.34+1)}{2!}\times(-0.00867)\\ +\frac{-0.34(-0.34+1)(-0.34+2)}{3!}\times(-0.00044)\\ +\frac{-0.34(-0.34+1)(-0.34+2)(-0.34+3)}{4!}\times(0.00009)\\ =0.84405\\ 于是f(0.566)=cos0.566\approx0.84405$

根据牛顿后插公式余项得：

$|R_5(x)|\leq\frac{M_5}{5!}|t(t+1)(t+2)(t+3)(t+4)|h^5\\ 其中x=0.566,x_6=0.6,h=0.1\\ t=\frac{x-x_6}{h}=-0.34\\ |M_5|\leq|sin0.6|\leq0.565\\ 得|R_5(0.566)|\leq1.7064 \times 10^{-7} [0.5 \times 10^{-6}]$

5. 牛顿插值多项式小结

• 优点：计算简单

• 缺点：和拉格朗日插值方法相同，插值曲线在节点处有尖点，不光滑，节点处不可导

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{持续更新}
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