数值分析(2)-多项式插值: 拉格朗日插值法

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整理一下数值分析的笔记~
目录：

1. 误差

2. 多项式插值与样条插值(THIS)

3. 函数逼近

4. 数值积分与数值微分

5. 线性方程组的直接解法

6. 线性方程组的迭代解法

7. 非线性方程求根

8. 特征值和特征向量的计算

9. 常微分方程初值问题的数值解

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1. 拉格朗日基函数

定义. 设 $l_k(x)$是n次多项式，在插值节点 $x_0,x_1,...,x_n$上满足：

$l_k(x_j)=\begin{cases} 1,&j=k\\ 0,&j \neq k \end{cases}$

则称 $l_k(x)$为节点 $x_0,x_1,...,x_n$上的拉格朗日插值基函数。

n=1 $\rarr$ 线性插值

问题定义：给定区间 $[x_k,x_{k+1}]$及端点函数值： $y_k=f(x_k),y_{k+1}=f(x_{k+1})$,求线性插值多项式 $L_1(x)$,使其满足 $L_1(x_k)=y_k,L_1(x_{k+1})=y_{k+1}$。

不难看出几何上就是通过两点的直线，两点式有： $L_1(x)=\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_k}y_k+\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}y_{k+1}$

即 $L_1(x)$是两个线性函数 $l_k(x)=\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_k},l_{k+1}(x)=\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}$

的线性组合，系数分别是 $y_k和y_{k+1}$,即：

$L_1(x)=y_kl_k(x)+y_{k+1}l_{k+1}(x)$

显然：

$l_k(x_k)=1,l_k(x_{k+1})=0\\ l_{k+1}(x_k)=0,l_{k+1}(x_{k+1})=1$

称 $l_k(x)和l_{k+1}(x)$为线性插值基函数。

n=2 $\rarr$ 抛物插值

同理，假定插值节点为 $x_{k-1},x_k,x_{k+1}$,求二次插值多项式 $L_2(x)$使其满足 $L_2(x_j)=y_j,(j=k-1,k,k+1)$,几何上其为通过三点 $(x_{k-1},y_{k-1}),(x_k,y_k),(x_{k+1},y_{k+1})$的抛物线，用基函数的方法求 $L_2(x)$的表达式，此时基函数 $l_{k-1}(x),l_k(x),l_{k+1}(x)$是二次函数，且在节点上满足条件：

$l_{k-1}(x_{k-1})=1,l_{k-1}(x_{k})=0,l_{k-1}(x_{k+1})=0\\ l_k(x_{k-1})=0,l_k(x_k)=1,l_k(x_{k+1})=0\\ l_{k+1}(x_{k-1})=0,l_{k+1}(x_k)=0,l_{k+1}(x_{k+1})=1$

以 $l_{k}$为例，由上面的式子可以知道它有两个零点 $x_{k-1},x_{k+1}$,有 $l_k(x)=A(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})$,其中A为待定系数，根据 $l_{k}(x_{k})=1$定出：

$A=\frac{1}{(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})}$

于是有：

$l_k(x)=\frac{(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})}{(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})}$

同理：

$l_{k-1}(x)=\frac{(x-x_{k})(x-x_{k+1})}{(x_{k-1}-x_k)(x_{k-1}-x_{k+1})}\\ l_{k+1}(x)=\frac{(x-x_{k-1})(x-x_{k})}{(x_{k+1}-x_{k-1})(x_{k+1}-x_{k})}$

可得二次插值多项式：

$L_2(x)=y_{k-1}l_{k-1}(x)+y_{k}l_{k}(x)+y_{k+1}l_{k+1}(x)$

2. 拉格朗日插值多项式

推广至一般情形，构造通过n+1个节点的n次插值多项式 $L_n(x)$.根据插值定义有： $L_n(x_j)=y_j,(j=0,1,...,n)$。为此先定义n次插值基函数：

定义1 若n次多项式 $L_j(x)(j=0,1,2,...,n)$在n+1个节点 $x_0<x_1<...<x_n$上满足条件：

$l_k(x_j)=\begin{cases} 1,&j=k\\ 0,&j \neq k \end{cases},(j,k=0,1,...,n)$

就称这n+1个n次多项式 $l_0(x)，l_1(x),...,l_n(x)$为节点 $x_0,x_1,...,x_n$上的n次插值基函数，类似地：

$l_k(x)=\frac{(x-x_0)...(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})...(x-x_n)}{(x_k-x_0)...(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})...(x_k-x_n)}$

由此可得插值多项式：

$L_n(x)=\sum^n_{k=0}y_kl_k(x)$

称为拉格朗日插值多项式。为了方便表示，引入记号：

$\omega_{n+1}=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)\\ 且有\omega'_{n+1}(x_k)=(x_k-x_0)...(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})...(x_k-x_n)$

则拉格朗日插值多项式可以写为：

$L_n(x)=\sum^n_{k=0}\frac{\omega_{n+1}(x)}{(x-x_k)\omega'_{n+1}(x_k)}$

关于插值多项式存在惟一性有一个定理：

定理1 在次数不超过n的多项式集合 $H_n$中，满足 $L_n(x_j)=y_j,(j=0,1,...,n)$的插值多项式 $L_n(x)\in H_n$存在且惟一。

惟一性证明：假定另有 $P(x) \in H_n使得P(x_j)=f(x_j),i=0,1,...,n$成立，于是有 $L_n(x_i)-P(x_i)=0对i=0,1,2...,n$成立，表明多项式 $L_n(x_i)-P(x_i) \in H_n$有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点的基本定理矛盾。

eg,已知f(144)=12,f(169)=13,f(225)=15,作f(x)二次Lagrange插值多项式并求f(175)1的近似值。

解： $x_0=144,x_1=169,x_2=225,y_0=12,y_1=13,y_2=15$，则f(x)的二次Lagrange插值基函数为：

$l_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}=\frac{(x-169)(x-225)}{(144-169)(144-225)}\\ l_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}=\frac{(x-144)(x-225)}{(169-144))(169-225)}\\ l_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}=\frac{(x-144)(x-169)}{(225-144)(225-169)}$

因此f(x)的二次Lagrange插值多项式为：

$L_2(x)=y_0l_0(x)+y_1l_1(x)+y_2l_2(x)$

知 $f(175) \approx 12l_0{175}+13l_1(175)+15l_2(175)=13.23015873$

3. 插值余项和误差估计

在[a,b]上用 $L_n(x)$近似f(x)，则其截断误差 $R_n(x)=f(x)-L_n(x)$,也称为插值多项式的余项，若f(x)的n阶导数连续，n+1阶导数存在，则:

$R_n(x)=f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x),其中\xi \in (a,b)且依赖于x$

通常情况下 $\xi$在(a,b)上具体位置未知，若可以求出 $max_{a<x<b}|f^{(n+1)}(x)|=M_{n+1}$，则 $R_n(x) \leq \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}|\omega_{n+1}(x)|$。

Lagrange插值多项式的缺点：

• 插值基函数计算复杂

• 当增加一个新点时需重新计算

• 插值多项式从n次增加到n+1次需重新计算

• 插值曲线在节点处有尖点，不光滑，节点处不可导

• 高次插值的精度不一定高

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{持续更新}
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