数值分析(7)-正交多项式

整理一下数值分析的笔记~
目录：

1. 误差

2. 多项式插值与样条插值

3. 函数逼近(THIS)

4. 数值积分与数值微分

5. 线性方程组的直接解法

6. 线性方程组的迭代解法

7. 非线性方程求根

8. 特征值和特征向量的计算

9. 常微分方程初值问题的数值解

1. 正交函数族与正交多项式

定义1：若 $f(x),g(x)\in C[a,b],\rho(x)$ 为[a,b]上的权函数且满足 $(f(x),g(x))=\int_a^b\rho(x)f(x)g(x)dx=0$ ，则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在[a,b]上带权 $\rho(x)$ 正交。

定义2：若函数族 $\phi_0(x),\phi_1(x),...,\phi_n(x)$ 满足关系 $(\phi_j,\phi_k)=\int_a^b\rho(x)\phi_j(x)\phi_k(x)dx$

$=\begin{cases} 0,j!=k\\ A_k>0,j=k \end{cases}$

则称 $\phi_k(x)$ 是[a,b]上的带全 $\rho(x)$ 的正交函数族，若 $A_k=1$ 则称为标准正交函数族。比如说三角函数组1,sinx,cosx,cos2x,sin2x,…就是区间[ $-\pi,\pi$ ]上的正交函数族。

定义3：设 $\phi_n(x)$ 是 $[a,b]$ 上首项系数 $a_n!=0$ 的n次多项式， $\rho(x)为[a,b]$ 上的权函数，如果多项式序列{ $\phi_n(x)_0^{\infty}$ }满足定义2中的条件，则称该多项式序列在[a,b]上带权 $\rho(x)$ 正交， $\phi_n(x)$ 为[a,b]上带权 $\rho(x)$ 的n次正交多项式。

只要给定区间[a,b]及权函数 $\rho(x)$ 均可由一族线性无关的幂函数{ $1,x,...,x^n,...$ }利用逐个正交化构造出正交多项式序列{ $\phi_n(x)$ } $^{\infty}_0$ , $\phi_0(x)=1,\phi_n(x)=x^n-\sum_{j=0}^{n-1}\frac{(x^n,\phi_j(x))}{(\phi_j(x),\phi_j(x)}\phi_j(x)$

这个正交多项式序列有几个性质：

$\phi_n(x)$ 是具有最高次项系数为1的n次多项式
任何n次多项式 $P_n(x)\in H_n$ 均可表示为 $\phi_0(x),\phi_1(x),...,\phi_n(x)$ 的线性组合
当 $k!=j,(\phi_j(x),\phi_k(x))=0,$ 且 $\phi_k(x)与任一次数小于k$ 的多项式正交。

2. 勒让德多项式

当区间为[-1,1]权函数 $\rho(x)=1$ 时由 ${1,x,...,x^n,...}$ 正交化得到的多项式就称为勒让德多项式，用 $P_0(x),...,P_n(x),...$ 表示，简单表达式 $P_0(x)=1,P_n(x)=\frac{1}{2^n!}\frac{d^n}{dx^n}$ { $(x^2-1)$ },n=1,2,…。因为 $(x^2-1)^n$ 时2n次多项式，所以对其求n阶导数后得： $P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}(2n)(2n-1)...(n+1)x^n+\alpha_{n-1}x^{n-1}+...+\alpha_0$

得首项 $x^n$ 的系数 $\alpha_n=\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ ，最高项系数为1的勒让德多项式为： $\bar P_n(x)=\frac{n!}{2n!}\frac{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n]$

勒让德多项式有几个重要性质：

正交性。

$\int _{-1}^1P_n(x)P_m(x)dx=\begin{cases} 0,m!=n\\ \frac{2}{2n+1},m!=n \end{cases}$
奇偶性。

$P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)$
递归关系：

$(n+1)P_{n+1}(x)\\=(2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x),(n=1,2,...)$

$P_n(x)$ 在区间[-1,1]内有n个不同的实零点。

3. 切比雪夫多项式

当权函数 $\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ,区间为[-1,1]时，由序列{ $1,x,...,x^n,...$ }正交化得到的正交多项式即切比雪夫多项式，表示为：

$T_n(x)=cos(narccosx),|x|\leq 1$

同样，切比雪夫多项式也有很多重要的性质：

递推关系：

$T_0(x)=1,T_1(x)=x\\ T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x),(n=1,2,...,)$

切比雪夫多项式{ $T_k(x)$ }在区间[-1,1]上带权 $\rho(x)=1/\sqrt{1-x^2}$ 正交，且由：

$\int_{-1}^1\frac{T_n(x)T_m(x)dx}{\sqrt{1-x^2}}=\begin{cases} 0,m!=n\\ \frac{\pi}{2},n=m!=0\\\pi,n=m=0 \end{cases}$

由递推关系可知， $T_{2k}(x)$ 只含x的偶次幂， $T_{2k+1}(x)$ 只含x的奇次幂。
$T_n(x)$ 在区间[-1,1]上有n个零点， $x_k=cos\frac{2k-1}{2n}\pi,k=1,2,...,n$ ，可以用 $T_0(x),T_1(x),...,T_n(x)$ 的线性组合表示 $x^n$ ,公式为：

$x^n=2^{1-n}\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\frac{n!}{(k!)(n-k)!}T_{n-2k}(x),\\规定T_0(x)=1\\$

4. 其他常用正交多项式

主要是根据区间[a,b]及权函数 $\rho(x)$ 的不同

4.1 第二类切比雪夫多项式

在区间[-1,1]上带权 $\rho(x)=\sqrt{1-x^2}$ 的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式，

$U_n(x)=\frac{sin[(n+1)arccosx]}{\sqrt{1-x^2}}$

因为

$\int_{-1}^1U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}dx,令x=cos\theta \\=\int_0^{\pi}sin(n+1)\theta sin(m+1)\theta d\theta \\=\begin{cases} 0,m!=n\\ \frac{\pi}{2},n=m \end{cases}$

所以{ $U_n(x)$ }是[-1,1]上带权 $\rho(x)=\sqrt{1-x^2}$ 的正交多项式族，有递推关系：

$U_0(x)=1,U_1(x)=2x,\\ U_{n+1}(x)=2xU_n(x)-U_{n-1}(x),\\(n=1,2,...)$

4.2 拉盖尔多项式

在区间[0, $\infty$ ]上带权 $\rho(x)=e^{-x}$ 的正交多项式称为拉盖尔多项式：

$L_n(x)=e^x\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})$

正交性质：

$\int_0^{\infty}e^{-x}L_n(x)L_m(x)dx=\begin{cases} 0,m!=n\\ (n!)^2,n=m \end{cases}$

递推关系：

$L_0(x)=1,L_1(x)=1-x\\ L_{n+1}(x)=(1+2n-x)L_n(x)-n^2L_{n-1}(x),(n=1,2,...)$

4.2 欸尔米特多项式

在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上带权 $\rho(x)=e^{-x^2}$ 的正交多项式称为埃尔米特多项式，

$H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$

正交关系：

$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}H_n(x)H_m(x)dx\\=\begin{cases} 0,m!=n\\ 2^nn!\sqrt{\pi},n=m \end{cases}$

递推关系

$H_0(x)=1,H_1(x)=2x\\ H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2xH_{n-1}(x),\\(n=1,2,...)$

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