Hermite多项式正交性证明

所谓的Hermite多项式$\{H_n\}$就是在区间$(-\infty,\infty)$上关于权函数$e^{-x^2}$所构成的直交系。它可以通过如下的表达式来定义：

$$H_n(x)= e^{x^2}(\frac{d}{dx})^n(e^{-x^2})$$ .

• 易知，$H_n(x)$是个n次多项式；易证，$H_n(x)$的最高次项系数为$(-2)^n$。
• 记$u = e^{-x^2}$，那么，
  $$u^{(k)}(-\infty)=u^{(k)}(\infty)=0,(k=0,1,2,\dots)$$
• 对于任何次数不高于n的多项式$V(x)$，利用逐次分部积分可得：
  $$\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}H_n(x)V(x)dx}=(-1)^n\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}V^{(n)}(x)dx}$$
  故，当$V$的次数低于n时，上式右端就是零。

这就证明了${H_n}$确实是关于权$e^{-x^2}$的直交系。

此外，取$V(x)=H_n(x)$，可知，

$$\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}[H_n(x)}]^2dx = 2^nn!\sqrt{\pi}$$