LUOGU 3357 最长k可重线段集问题网络流24题

title

给定平面 $x-O-y$ 上 $n$ 个开线段组成的集合 $I$ ，和一个正整数 $k$ 。试设计一个算法，从开线段集合 $I$ 中选取出开线段集合 $S\subseteq I$ ,使得在 $x$ 轴上的任何一点 $p$ ， $S$ 中与直线 $x=p$ 相交的开线段个数不超过 k，且 $\sum\limits_{z\in S}|z|$ 达到最大。这样的集合 $S$ 称为开线段集合 $I$ 的最长 $k$ 可重线段集。 $\sum\limits_{z\in S}|z|$ 称为最长 $k$ 可重线段集的长度。
对于任何开线段 $z$ ，设其断点坐标为 $(x_0,y_0)$ 和 $(x_1,y_1)$ ，则开线段 $z$ 的长度 $|z|$ 定义为：
$|z|=\lfloor\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}\rfloor$
对于给定的开线段集合 $I$ 和正整数 $k$ ，计算开线段集合 $I$ 的最长 $k$ 可重线段集的长度。

输入输出格式
输入格式：

文件的第一行有 2 个正整数 n 和 k，分别表示开线段的个数和开线段的可重叠数。
接下来的 n 行，每行有 4 个整数，表示开线段的 2 个端点坐标。

输出格式：

程序运行结束时，输出计算出的最长 k 可重线段集的长度。

输入输出样例
输入样例#1：

4 2
1 2 7 3
6 5 8 3
7 8 10 5
9 6 13 9

输出样例#1：

17

说明

$1\leq n\leq500$
$1 \leq k \leq 13$

analysis

首先离散化线段端点的横坐标（ $siz$ 为离散化后的元素个数），将值域缩小到 $[1,2n]$ ，但是横纵坐标合起来总数就有 $4n$ 了。

然后 $源点s$ 向 $1$ 连容量为 $k$ ，代价为 $0$ 的边，
每个 $i$ 向 $i+1$ 连容量为 $INF$ ，代价为 $0$ 的边 $(1\leq i< siz*2)$ ，
$siz*2$ 向 $汇点t$ 连容量为 $k$ ，代价为 $0$ 的边。

对于每条线段，我们从左端点向右端点连一条流量为 1 的边。这会使开区间 $(l,r)$ 的可支配流量 -1，代表能选的互相覆盖的区间数减了 1。

因为我们希望选的边长度和尽量大，这条边的费用为 $\lfloor\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}\rfloor$ 。

然后跑最大费用最大流即可。

这道题为最大权不相交路径的二维情况。

看洛谷讨论区，也有大佬出了个三维情况，哈哈哈，真有才，不过不知道有人写没？

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10,inf=0xcfcfcfcf,INF=0x3f3f3f3f;

char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc() { return (ft==fs&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),ft==fs))?0:*fs++; }
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=0;
    T f=1, ch=getchar();
    while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
    if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
    x*=f;
}

template<typename T>inline void write(T x)
{
    if (!x) { putchar('0'); return ; }
    if (x<0) putchar('-'), x=-x;
    T num=0, ch[20];
    while (x) ch[++num]=x%10+48, x/=10;
    while (num) putchar(ch[num--]);
}

int ver[maxn<<1],edge[maxn<<1],Next[maxn<<1],cost[maxn<<1],head[maxn],len=1;
inline void add(int x,int y,int z,int c)
{
    ver[++len]=y,edge[len]=z,cost[len]=c,Next[len]=head[x],head[x]=len;
    ver[++len]=x,edge[len]=0,cost[len]=-c,Next[len]=head[y],head[y]=len;
}

int s,t;
int dist[maxn],incf[maxn],pre[maxn];
bool vis[maxn];
inline bool spfa()
{
    memset(dist,0xcf,sizeof(dist));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    queue<int>q;q.push(s);
    dist[s]=0,vis[s]=1,incf[s]=1<<30;
    while (!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        vis[x]=0;
        for (int i=head[x]; i; i=Next[i])
        {
            if (!edge[i]) continue;
            int y=ver[i];
            if (dist[y]<dist[x]+cost[i])
            {
                dist[y]=dist[x]+cost[i];
                incf[y]=min(incf[x],edge[i]);
                pre[y]=i;
                if (!vis[y]) q.push(y),vis[y]=1;
            }
        }
    }
    if (dist[t]==inf) return false;
    else return true;
}

long long maxflow,ans;
inline void update()
{
    int x=t;
    while (x!=s)
    {
        int i=pre[x];
        edge[i]-=incf[t];
        edge[i^1]+=incf[t];
        x=ver[i^1];
    }
    maxflow+=incf[t];
    ans+=dist[t]*incf[t];
}

int n,k;
inline int hash(int i,int j)
{
	return (i-1)*n+j;
}

int l[510],r[510],x[510],y[510],b[1010],tot=0,length[510];
int main()
{
	read(n);read(k);
	for (int i=1; i<=n; ++i)
	{
		read(l[i]);read(r[i]);read(x[i]);read(y[i]);
		b[++tot]=l[i],b[++tot]=x[i];
		length[i]=sqrt((ll)(l[i]-x[i])*(l[i]-x[i])+(ll)(r[i]-y[i])*(r[i]-y[i]));
	}
	sort(b+1,b+tot+1);
	int siz=unique(b+1,b+tot+1)-b-1;
	for (int i=1; i<=n; ++i)
	{
		l[i]=lower_bound(b+1,b+siz+1,l[i])-b;
		x[i]=lower_bound(b+1,b+siz+1,x[i])-b;
	}

	s=0,t=siz<<1|1;
	add(s,1,k,0),add(siz<<1,t,k,0);
	for (int i=1; i<(siz<<1); ++i) add(i,i+1,INF,0);
	for (int i=1; i<=n; ++i)
		if (l[i]!=x[i]) add(l[i]<<1|1,x[i]<<1,1,length[i]);
		else add(l[i]<<1,x[i]<<1|1,1,length[i]);

	while (spfa()) update();
	write(ans),puts("");
	return 0;
}

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