LUOGU 3358 最长k可重区间集问题网络流24题

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LUOGU 3358
题目描述

对于给定的开区间集合 I 和正整数 k，计算开区间集合 I 的最长 k可重区间集的长度。

输入输出格式
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的第 1 行有 2 个正整数 n和 k，分别表示开区间的个数和开区间的可重迭数。接下来的 n行，每行有 2 个整数，表示开区间的左右端点坐标。

输出格式：

将计算出的最长 k可重区间集的长度输出

输入输出样例
输入样例#1：

4 2
1 7
6 8
7 10
9 13

输出样例#1：

15

说明

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对于100%的数据， $1\le n\le 500,1\le k\le 3$

analysis

首先离散化区间端点（ $siz$ 为离散化后的元素个数），将值域缩小到 $[1, 2n]$ 。

然后 $源点s$ 向 $1$ 连容量为 $k$ ，代价为 $0$ 的边，
每个 $i$ 向 $i+1$ 连容量为 $INF$ ，代价为 $0$ 的边 $(1\leq i< siz)$ ，
$siz$ 向 $汇点t$ 连容量为 $k$ ，代价为 $0$ 的边。

对于每条线段，我们从左端点向右端点连一条流量为 1 的边。这会使开区间 $(l,r)$ 的可支配流量 -1，代表能选的互相覆盖的区间数减了 1。

因为我们希望选的边长度和尽量大，这条边的费用为 $r-l$ 。

然后跑最大费用最大流即可。

这道题为最大权不相交路径的一维情况。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10,inf=0xcfcfcfcf,INF=0x3f3f3f3f;

char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc() { return (ft==fs&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),ft==fs))?0:*fs++; }
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=0;
    T f=1, ch=getchar();
    while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
    if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
    x*=f;
}

template<typename T>inline void write(T x)
{
    if (!x) { putchar('0'); return ; }
    if (x<0) putchar('-'), x=-x;
    T num=0, ch[20];
    while (x) ch[++num]=x%10+48, x/=10;
    while (num) putchar(ch[num--]);
}

int ver[maxn<<1],edge[maxn<<1],Next[maxn<<1],cost[maxn<<1],head[maxn],len=1;
inline void add(int x,int y,int z,int c)
{
    ver[++len]=y,edge[len]=z,cost[len]=c,Next[len]=head[x],head[x]=len;
    ver[++len]=x,edge[len]=0,cost[len]=-c,Next[len]=head[y],head[y]=len;
}

int s,t;
int dist[maxn],incf[maxn],pre[maxn];
bool vis[maxn];
inline bool spfa()
{
    memset(dist,0xcf,sizeof(dist));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    queue<int>q;q.push(s);
    dist[s]=0,vis[s]=1,incf[s]=1<<30;
    while (!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        vis[x]=0;
        for (int i=head[x]; i; i=Next[i])
        {
            if (!edge[i]) continue;
            int y=ver[i];
            if (dist[y]<dist[x]+cost[i])
            {
                dist[y]=dist[x]+cost[i];
                incf[y]=min(incf[x],edge[i]);
                pre[y]=i;
                if (!vis[y]) q.push(y),vis[y]=1;
            }
        }
    }
    if (dist[t]==inf) return false;
    else return true;
}

long long maxflow,ans;
inline void update()
{
    int x=t;
    while (x!=s)
    {
        int i=pre[x];
        edge[i]-=incf[t];
        edge[i^1]+=incf[t];
        x=ver[i^1];
    }
    maxflow+=incf[t];
    ans+=dist[t]*incf[t];
}

int main()
{
    int n,k,l[510],r[510],b[1010],tot=0;
    read(n);read(k);
    for (int i=1; i<=n; ++i)
    {
        read(l[i]);read(r[i]);
        b[++tot]=l[i],b[++tot]=r[i];
        if (l[i]>r[i]) swap(l[i],r[i]);
    }
    sort(b+1,b+tot+1);
    int siz=unique(b+1,b+tot+1)-b-1;
    for (int i=1; i<=n; ++i)
    {
        l[i]=lower_bound(b+1,b+siz+1,l[i])-b;
        r[i]=lower_bound(b+1,b+siz+1,r[i])-b;
    }

    s=0,t=siz+1;
    add(s,1,k,0);
    add(siz,t,k,0);
    for (int i=1; i<siz; ++i) add(i,i+1,INF,0);
    for (int i=1; i<=n; ++i) add(l[i],r[i],1,b[r[i]]-b[l[i]]);

    while (spfa()) update();
    write(ans),puts("");
    return 0;
}

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