【51nod 1161】 Partial Sums （组合数学）

题目来源： CodeForces
基准时间限制：2 秒空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题
给出一个数组A，经过一次处理，生成一个数组S，数组S中的每个值相当于数组A的累加，比如：A = {1 3 5 6} => S = {1 4 9 15}。如果对生成的数组S再进行一次累加操作，{1 4 9 15} => {1 5 14 29}，现在给出数组A，问进行K次操作后的结果。(每次累加后的结果 mod 10^9 + 7)
Input
第1行，2个数N和K，中间用空格分隔，N表示数组的长度，K表示处理的次数（2 <= n <= 5000, 0 <= k <= 10^9, 0 <= a[i] <= 10^9)
Output
共N行，每行一个数，对应经过K次处理后的结果。每次累加后mod 10^9 + 7。
Input示例
4 2
1
3
5
6
Output示例
1
5
14
29
思路：当然不能枚举，我们只能去观察一下每个数在每位上的最终贡献，也就是找系数。
然后我发现这个竟然和怕卡三角形有关，是一个斜对角的一列数。
我们先看 $a[1]$ 对于每位的贡献，当k为0或者1时，直接特判处理，
当k为2时，系数为 $1,2,3,4,5...$
当k为3时，系数为 $1,3,6,,,$

我们显然可以发现这是一个通项公式，其次数显然为 $k-1$ 次，这题用拉格朗日差值也做不了，因为k太大，回到帕斯卡三角，我们发现如果要得到下一项，我们只要知道其有边的一项的值，相加就得到下一项了。

如果我们知道了 $C_n^m$ ,我们显然能很快的知道 $C_n^{m+1}$ ：

C_{n}^{m + 1} = \frac{n - m}{m + 1} C_{n}^{m}

$C_n^{m+1}=\frac{n-m}{m+1}C_n^m$

每次转移的时候要算逆元，是 $logn$ 的，当然可以一次性预处理完就只要 $O(1)$ 时间来转移了。预处理时间是 $O(n)$ , 那么这题就做完了.
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#define maxx 5005
#define ll long long
#define mod 1000000007
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,k;
int a[maxx];
ll cf[maxx];
ll ans[maxx];
ll P(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);
    if(k<=1)
    {
        if(k==1)
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            a[i]+=a[i-1];
            if(a[i]>=mod)a[i]-=mod;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            cout<<a[i]<<endl;
    }
    else
    {
        k--;
        int m=0;
        cf[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            ll temp=cf[i-1]*(k-m)%mod*P(m+1,mod-2)%mod;
            cf[i]=cf[i-1]+temp;
            if(cf[i]>=mod)cf[i]-=mod;
            ++k;++m;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;i+j<=n+1;j++)
            {
                ans[i+j-1]=ans[i+j-1]+cf[j]*a[i]%mod;
                if(ans[i+j-1]>=mod)ans[i+j-1]-=mod;
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            cout<<ans[i]<<endl;
    }
    return 0;
}

【51nod 1161】 Partial Sums （组合数学）

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