**矩阵的行简化阶梯型：**多元方程化简消元求解。
规则：线性消元化简后保证每行首个非零项为1，呈阶梯型。每行首个非零1为主元，其他非零项为自由变量。
出现自有变量时，说明该方程组的个数比未知量（元）少，没法很好的限制解。这样，解就不是一个点（解析解），而是一个方程（（一次）线或面 ），或者无解(多个方程表示的线或面不相交)
解的形式为 固定点(2，0，5，0)+向量a和向量b的线性组合。
例1：解为某个点的情况
例2：无解的情况
如下两个方程无解，类似上面无解的情况。
矩阵和向量相互作用
矩阵乘以向量：
矩阵列向量在向量x作用下的线性组合 即向量x决定了矩阵每个列向量的加权值。
也可以理解为矩阵行向量的与向量x点积。
零空间：
Ax = 0; A为已知矩阵，满足Ax=0的所有向量x张成的线性子空间为 零空间。
将矩阵A行简化阶梯型，此时rref(A)x=0 的零空间 等于 Ax=0的零空间。
Ax=0,如果矩阵A各列线性无关，则x为0向量，即方程只有唯一解：0, 即零空间为0
Ax=0，行最简阶梯型如果存在自由变量，则A列向量线性相关。存在自由变量的列都可以用存在主元的列线性表示。
列空间的基为含有主元的列向量组成。
列空间：
则 Ax = b,如果b不在A的列空间，则Ax=b无解。b在A的列空间，则Ax=b至少有一个解。
求一个矩阵的零空间：
先行简化阶梯型，找到主元，自由变量。
则零空间为v1、v2、v3的线性组合，v1、v2、v3为零空间的一组基。该零空间为3维。
空间维度：
一个子空间的维度等于 该空间一组基底的包含元素的个数(列数)。
行简化阶梯型矩阵的零空间纬度 就是 自由变量的个数。
行简化阶梯型矩阵的列空间纬度 就是 主元的个数。列空间纬度 也叫做 “秩”
函数的深入理解：
一个函数就是一个集合中的元素与另一个集合的关系。（值域 和 定义域）
y=x^2 一维 到 一维 的映射：
x->y的映射。
其中x是R1空间的数(定义域)，y也是R1空间的数（值域）。所以这个映射是R1(定义域)->R1(上域)。
二维 到 一维的映射：
函数g将R2点(x1,x2)映射到R1点2.
二维 到 三维的映射：
函数h将R2点(x1,x2)映射到R3点(x1+x2,x2-x1,x1x2)
线性变换：
线性变换Transformation 本质就是一个函数，T：Rn -> Rm 该(函数)变换满足必须满足：
如下两条规则用来验证一个变换是否是 线性变换。
矩阵与向量乘法就是一个线性变换：
定义一个变换：如下
即
变换T(x)=Bx; 则 T(x1,x2)=(2x1-x2,3x1+4x2) 如下
任意线性变换，可以写成矩阵X向量的形式，即 变换可以用矩阵来表达。
已知一个 线性变换：
T(R2 -> R3)
T(x1,x2) = (x1+3x2,5x2-x1,4x1+x2),求该变换的矩阵表达？
根据已知条件，该变换将R2空间向量变换到R3空间向量，那么从R2空间的单位向量入手，将单位向量的每一列执行该变换。
就得到了这个变换矩阵，具体如下:
三条线段的线性变化：
变换后的像：
所有的线性变化是将(x1,x2…xn) 变换到矩阵的列空间。
即 所有的变化都是矩阵的列量线的线性组合。
已知变换的像，求原像？
消元后，x1为主元，x2为任意数，令x2=t。得到x1,x2的解，如下：
所以，原像为两条直线。
变换的加法和数乘：
变换列题1：翻转变换，求变换矩阵？
将一个三角形沿y轴翻转，并将y值增一倍。则该变换为：T(x,y)=(-x,2y)
则变换矩阵为：
列题2：R2->R2旋转变换？求变换矩阵
将一个向量逆时针旋转一个角度
无法根据向量X计算出旋转后的向量的值。
因为是R2->R2的变换，所以先构建一个2X2单位矩阵，从单位矩阵入手。
在单位矩阵上执行这个变换，即单位矩阵的每一列向量执行该变换，即得到该旋转变化的矩阵。
R3->R3的旋转变换：
已知向量在R3中绕X轴旋转
单位向量：
已知向量v，求v同方向的单位向量？
求向量的投影：
（适用于高维）
已知向量v,则向量v表示的直线为 L={cv,c属于R}
向量x在L上的投影可以表示为 cv，则垂线段为：x-cv。
所以(x-cv)*v=0,则c=xv/vv
例：
v=(2,1) x=(2,3)
利用单位向量求投影：
已知投影向量为：求出投影矩阵(投影也是线性变化，证明略)
因为：
则：
令v等于单位向量，或者求出v的单位向量：
则：
则投影矩阵为：
