写在前面

本篇是B站3Blue1Brown的课程《线性代数的本质》【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集_哔哩哔哩_bilibili的自用笔记

向量线性

向量可以理解为一种特定的运动：在空间中朝着某一个方向移动一定距离；
向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集。

基是最重要的，二维（i,j），三维（i，j，k）

任何向量都要在一组基下才能确定位置，向量的线性变换本质上是基的变换导致的

例子：

一个向量

正常坐标系i（1,0）j（0,1）下为 [3 2]T
另一个坐标系 b1(1,0) b2(0,1) [(5/3) (1/3)]T
如何进行坐标系的翻译？
利用基的线性变换

逆变换就叫矩阵的逆

Q：M是一个在标准基下的旋转矩阵，如何作用于基b1b2，使得有同样效果

A：使用基的线性转换A先转化为标准基视角，再进行M操作，最后转回去

线性无关：一个向量可以用其他的表示

如这俩线性相关

线性变换

最基础的变换只有两种：旋转和拉伸

其他变换是复合变换

拉伸

矩阵D左乘一个S（对角矩阵）是拉伸或者压缩变化，对于原来的方向是没有变化的

如上：y不变，x变为原来2倍

旋转

矩阵D左乘一个R（酉矩阵）是旋转操作

经过线性变化后必须遵守的原则：

直线依旧是直线
原点保持固定

把线性代数看做“保持网格线平行且等距分布”的变换

行列式

determinat

将行列式理解为：经过线性变换改变区域面积的比例

负值的理解：空间发生了翻转（i和j的相对位置发生了变化）
- 其绝对值仍为面积改变的比例

逆矩阵、线性空间

线性方程组

将线性方程组转化为矩阵

将矩阵A理解为空间中的一种线性变换（拉伸+旋转）

因此AX = V可以理解为通过线性变换可以将x变为v

判断该线性方程组是否有唯一解

取决于行列式det

det ≠ 0 有唯一解
- A-1就存在，通过A-1可以还原该线性变换
- det ≠ 0 体现在空间中原本空间的维度不发生改变，只是发生一定比例的面积变化
- 上面的AX = V变换后空间仍然是二维空间，但是如果变换后i和j重叠，则不存在唯一解，不存在一个线性变换可以将一个线转换为一个面
det = 0没有唯一解
- 解可能存在
- 存在降维（秩）即rank < column

逆矩阵

那么逆矩阵就很好理解了，就是进行上面这个变换的一个逆变换

旋转

剪切

因此A-1A即不发生变化的矩阵

秩Rank

把秩理解为列空间的维度，列就是基向量

对于2*2的矩阵，r最大为2（det≠0时）r为2表示基向量可以张成一个二维空间
r = 列数时，称为Full Rank 即满秩
零向量一定在列空间中（线性变换一定满足原点不变）
对于满秩矩阵，只有原点不变

矩阵求解

没啥用，理解矩阵更重要

https://www.bilibili.com/video/BV1zu41197pL/?spm_id_from=pageDriver&vd_source=5500fef761fd3ab451b9bbe518cd5cc6

消元（高斯消元法）行阶梯矩阵
回代
整理

相似矩阵

B是在非正交基上的线性变换（矩阵）

通过以下操作可以转化为在正交基上的相似矩阵A

https://www.bilibili.com/video/BV1zu411673J/?spm_id_from=pageDriver&vd_source=5500fef761fd3ab451b9bbe518cd5cc6

点积叉积

矩阵相乘

矩阵相乘表示的是线性变换的先后顺序

如下表示先进行B变换，再进行A变换，实际上可以融合为一个C变化（也是2*2）

A=[[2 1]
   [1 1]]  
B=[[3 1]
   [1 1]]  
AB

向量点积 Dot product

数学表示v·w = |v的投影长度||w|

dot > 0 表示同向
< 0 表示反向

从线性变换看向量点积

u·x u是变换矩阵 x是向量

基向量i、j经过变换矩阵后从二维变为一维直线

现在向量x就变为了直线上的一个点
之前一直不理解为什么向量点积之后变为一个具体的值，现在从维度上理解就很好理解了，一维直线由无数的点组成向量点积就是二维到一维转换的一个过程

向量叉积

v × w = p 叉乘结果是向量
向量长度 = 两向量围成的平行四边形的面积
方向用右手定则

计算叉乘的方法

特征值特征向量

特征向量表现公式如下

对于这个向量进行A矩阵线性变换，等效于对其进行[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-HunDMy4t-1659017659081)(https://myblogimgbed.oss-cn-shenzhen.aliyuncs.com/img/e520c061a407db472027709bf3f73290.svg)]倍的缩放操作
即这个向量不发生旋转操作