第二章 矩阵及其运算 第三四节 逆矩阵/矩阵分块法

§2.3 逆矩阵
§2.4 矩阵分块法

2.3 逆矩阵

  对于 $n$阶矩阵 $A,$如果有一个 $n$阶矩阵 $B,$使
$AB=BA=E$
则说矩阵 $A$是可逆的，并把矩阵 $B$称为矩阵 $A$的逆矩阵，简称逆阵。

定理：

若矩阵 $A$可逆，则 $|A| \neq 0.$

定理：

若 $|A| \neq 0,$则矩阵 $A$可逆，且
$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*},$
其中 $A^{*}$为矩阵 $A$的伴随矩阵。
  当 $|A|=0$时， $A$称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。则 $A$是可逆矩阵的充分必要条件是 $|A| \neq 0,$即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

推论

若 $AB=E(BA=E),$则 $B=A^{-1}.$

运算规律

1、若 $A$可逆，则 $A^{-1}$也可逆，且 $(A^{-1})^{-1}=A.$
2、若 $A$可逆，数 $\lambda \neq 0,$则， $\lambda A$可逆，且 $(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}.$
3、若 $A$、 $B$为同阶矩阵且均可逆，则 $AB$亦可逆，且
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$

  设 $\varphi(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{m}x^{m}$
为 $x$的 $m$次多项式， $A$为 $n$阶矩阵，记
$\varphi(A)=a_{0}E+a_{1}A+\cdots+a_{m}A^{m}$
$\varphi(A)$称为矩阵 $A$的 $m$次多项式。

2.4 矩阵分块法

  我们将矩阵 $A$用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个矩阵称为 $A$的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则想类似。
  对线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\ \cdots\cdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}, \end{cases}$
记 $A=(a_{ij}),$ $x=\left( \begin{matrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{matrix} \right),$ $b=\left( \begin{matrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ x_{m} \end{matrix} \right),$ $B=\left( \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_{2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_{m} \end{matrix} \right),$
其中 $A$称为系数矩阵， $x$称为未知数向量， $b$称为常数项向量， $B$称为增广矩阵。
按照分块矩阵的记法可记为：
$B=(A\ \vdots \ b),$或 $B=(A,b)=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},b).$
此方程可记为
$Ax=b,$
以向量 $x$为未知源，它的解称为方程组的解向量。

克拉默法则

对于 $n$个变量， $n$个方程的线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\ \cdots\cdots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n}, \end{cases}$
如果它的系数行列式 $D\neq 0,$则它有唯一解
$x_{j}=\frac{1}{D}D_{j}=\frac{1}{D}(b_{j}A_{1j}+b_{2}A_{2j}+\cdots+b_{n}A_{nj})(j=1,2,\cdots,n).$

《线性代数》同济大学第五版笔记